Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Например, пусть область [pic] есть квадрат со стороной единица.
Событие А состоит в том, что случайная точка [pic] попадает в четверть круга [pic] с радиусом, равным единице, и вписанного в квадрат [pic]. См. фиг.7.5.

Фиг.7.5.

Тогда по формуле (7.1) получаем

Р(А)=?/4 (7.2)

Аналогичные построения делаются, когда за основу берутся области на прямой или области в пространстве. При этом только в случае прямой площади заменяются суммарными длинами соответствующих отрезков, составляющих [pic].
А в случае пространства вероятности оцениваются через суммарные объемы соответствующих областей, составляющих [pic].

8.Пример задачи на геометрическую вероятность.

Задача 8.1.

Мария и Иван хотят встретиться в промежутке времени от 0 до 1 часа пополудни. Они люди безалаберные и каждый из них появится на месте встречи в свой случайный момент времени [pic] или соответственно [pic] из отрезка
[pic]. Они условились, что каждый пришедший ждет своего товарища в течение
15 минут или до момента времени t=1, если от момента прихода до момента времени t=1 остается меньше 15 минут.
Какова вероятность, что Мария и Иван встретятся?

Решение:

Сделаем следующее построение. Введем прямоугольную систему координат X0Y.
Полагаем х=[pic], y=[pic]. Тогда точка с координатами х и у соответствует приходу Марии в момент х=[pic] и приходу Ивана в момент y=[pic].
Достоверному событию [pic] соответствует на плоскости ХОУ квадрат
[pic]:[pic] Событию А, которое осуществляется тогда и только тогда, когда
Мария и Иван встретятся соответствует область [pic], которая состоит из точек, лежащих в квадрате [pic] и к тому же удовлетворяющих условию [pic], т.е. [pic]:[pic] См. фиг.8.1.

Фиг.8.1.

По формуле (7.1) получаем

Р(А)=S[pic]/S[pic]=1–2?(1/2)?(3/4)[pic]=1–9/16=7/16 (8.1)

Ответ: Вероятность встречи Марии и Ивана равна 7/16.

9.Случайные величины.

Очень важным в теории вероятностей является понятие случайной величины x.
Это величина, для которой тот факт, что она принимает то или иное значение, является случайным событием. Например, когда компьютеру на одной из версий языка Pascal, дается команда x=random(1000)/1000, то компьютер выдает случайным образом значение случайной величины х, 0?x?1. При этом вероятность Р(A) события A={??x??, 0?????1} определяется равенством

Р(А)=Р(??x??)=?–? (9.1)

Иначе говоря, здесь как раз вероятность того, что случайная величина х принимает то или иное значение в пределах отрезка {??x??,0?????1}, определяется геометрически через длину этого отрезка.
Рассмотрим случайную величину х, которая может принять конечное число n различных значений [pic] с вероятностями Р[pic]Р[pic].
Например, если мы бросаем один раз игральную кость, то случайной величиной х будет выпавшее количество очков, т.е.k=6,[pic], Р[pic]Р[pic]Р[pic].

10.Математическое ожидание.

Математическим ожиданием E(x) для случайной величины x, которая может принимать значения x[pic][pic] и только такие значения с вероятностями
Р(x[pic])=Р[pic], называют число, которое определяется равенством i=k i=k

E(x)=Sxi·Рi, S Рi=1, Рi?0, i=1,…,k (10.1) i=1 i=1

Например, в случае с игральной костью математическое ожидание количества очков x, которое выпадет, будет согласно (10.1) числом

E(x)=(1/6)?(1+2+3+4+5+6)=(1/6)?21=7/2=[pic] (10.2)

Смысл понятия математического ожидания раскрывается в законе больших чисел.
Этот закон проявляется следующим образом. Если сделать подряд очень большое число n независимых испытаний при одинаковых условиях, и таких, что каждый раз осуществляется одно из значений рассматриваемой случайной величины х, то с вероятностью очень близкой к единице, то есть практически наверняка и с большой степенью точности будет выполняться приближенное равенство

(x(1)+x(2)+…+x(n))/n ? E(x) (10.3)

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: изложение на родине ломоносова, решебник по русскому языку.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата