Предыдущая страница реферата | 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 | Следующая страница реферата

Таким образом, из (12.8) получается закон больших чисел П.Л.Чебышева:

Для любого сколь угодно малого положительного числа ? и числа ?N, будет справедливо неравенство
Р[pic] (12.9)

В самом деле, согласно (12.8) достаточно выбрать в качестве числа N наименьшее из натуральных чисел, удовлетворяющих неравенству [pic], то есть
[pic] (12.10)

Это означает следующее. Какие бы числа [pic] и [pic] мы ни выбрали, если сделать количество n независимых испытаний больше, чем число N, то среднее значение случайной величины будет отличаться от математического ожидания меньше, чем на ? с вероятностью большей, чем ?. Иначе говоря, при неограниченном увеличении числа независимых испытаний среднее значение случайной величины стремится к математическому ожиданию Е с вероятностью, приближающейся к единице.
13.Испытания по схеме Бернулли.

Так называется следующая серия независимых испытаний. Пусть производится n испытаний. В i-том испытании может осуществиться случайное событие Ai с вероятностью Рi,i=1,…,n. Все события Аi независимы в совокупности. То есть вероятность события Аi не зависит от того, осуществляются или нет события Аj,j=1,…,n, j[pic]i. Рассмотрим здесь такой частный случай, когда все вероятности Рi равны друг другу и равны p,0‹p‹1.
То есть

Р(Аi)=p, P(Ai*)=q, q=1-p, 0‹p‹1, 0‹q‹1, i=1,…,n (13.1)

Например, пусть испытания состоят в том, что случайная точка [pic] в i-том испытании обязательно появляется в квадрате со стороной равной единице. Событие Аi состоит в том, что точка [pic] оказывается в четверти круга, вписанного в квадрат и имеющего радиус равный единице (см.раздел7).
Согласно (7.2) имеем

Р(Ai)=p=[pic] (13.2)

Справедливо следующее утверждение.

Теорема Бернулли: Пусть производится n испытаний по схеме Бернулли. Пусть события Аi осуществились в m испытаниях.
Для любых чисел [pic] и [pic] найдется такое натуральное число N, что при числе испытаний n>N будет справедливо неравенство

P(|m/n–p|[pic] (13.3)

В самом деле, свяжем с i-тым испытанием случайную величину [pic].
Пусть эта величина принимает значение равное единице, если осуществляется событие Аi, и [pic] принимает значение равное нулю, если событие Аi не осуществляется, т.е. осуществляется противоположное событие Аi*. Вычислим математическое ожидание Еi и дисперсию Di случайной величины [pic]. Имеем

[pic]p[pic]q=p (13.4)

[pic]p[pic]p[pic]p[pic]q[pic]q[pic]?p+p[pic]?q=p?q?(q+p)=p?q?1=p?q
(13.5)

Так как в нашем случае

[pic] (13.6)

то из закона больших чисел (12.9),(12.10) получаем неравенство
(13.3), если только

[pic] (13.7)

Это и доказывает теорему Бернулли.
Например, если мы хотим проверить теорему Бернулли на примере вычисления числа ? с точностью до [pic] с вероятностью большей, чем [pic], то нам надо сделать испытания по схеме Бернулли в соответствии с разделом 7, т.е. получить согласно текущему разделу неравенство

P(|m/n–?/4|0.99 (13.8)

Для этого согласно (13.7) достаточно выбрать число

[pic] (13.9)

с большим запасом.

Такое испытание было сделано на компьютере по программе, приведенной в следующем разделе. Получилось

4?m/n=3.1424 (13.10)

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: изложение на родине ломоносова, решебник по русскому языку.





Предыдущая страница реферата | 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 | Следующая страница реферата