Вопросы к Гос.Экзамену по дисциплине “Математика – Алгебра”

Вопрос 3. Определитель квадратной матрицы.

В вопросе рассматривается одна из характеристик матрицы - числовая. Все свойства определителя (числовые характеристики) матрицы рассматриваются для того, чтобы это число стало возможным находить. Введение понятия определителя матрицы позволяет расширить возможности теории решения систем линейных уравнении и другие приложения теории матриц.

Итак, введем определение определителя матрицы и рассмотрим его свойства.

Пусть дана квадратная матрица А=(aij)n n, где аij Î R

Для введения определения матрицы обратимся к некоторым вопросам теории подстановок.

Подстановка t = 1 2 … n называется взаимно-однозначное

t (1) t (2) …t (n)

отображение множества М={1,2,...,n} на себя. Множество всех подстановок обозначается Sn, |Sn|=n!

Подстановки характеризуются своей четностью и нечетностью, которые вводятся через инверсию:

-если у подстановки четное число инверсии, то она четная;

-если-нечетное число инверсий, то она нечетная.

Для обозначения четности подстановки используется символ sgn(t ) -знак подстановки. Зафиксируем ряд необходимых утверждений:1) t = E (единичная)-четная; 2) sgn (t --1 ) = sgn t ;

3) одна транспозиция меняет четность подстановки.

Опр.1.Определителем квадратной матрицы называется число, равное сумме n! слагаемых, каждое из которых есть произведение n элементов матрицы, взятых ровно по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы со знаком sgn (t )

где t -подстановка из индексов элементов произведения ,т.е.

|A|=å sgn(t )a1t (1) a2t (2) …ant (n) , A=(aij)n*n

приняты также обозначения для определителя: def A, Δ.

Теорема 2. Определитель матрицы обладает рядом свойств, среди которых следующие:

1° . |A|=|At|,где Аt -трансионированная;

2° . Определитель матрицы с нулевой строкой равен нулю;

3° . Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками равен нулю.

4° . Определитель матрицы с двумя равными строками равен нулю.

5° . Перестановка двух строк(столбцов) матрицы изменяет знак определителя.

6° . Если к одной строке матрицы прибавить другую,уменьшенную на число, не изменяет ее

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: бесплатные конспекты, реферат на тему види.





1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата