Предыдущая страница реферата | 4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14 | Следующая страница реферата

a-1ax=a-1bÞ ex=a-1bÞ x=a-1b.

Пусть уравнение имеет два решения x1, x2:

ax1=b, ax2=b-равенства, домножим на а-1:

x1=a-1b, x2=a-1b.

В силу алгебраичности операции x1=x2, что и требовалось доказать.

Из определения группы видно, что G это множество, поэтому есть смысл рассматривать его подмножества. Среди подмножеств особый интерес представляют те, которые являются группами, т. е. замкнуты относительно той же групповой операции.

Опр. 5. Подмножество К группы <G, * > называется подгруппой, если оно само является группой <K, * > .

Теорема 6. (критерий подгруппы). Подмножество К группы G является подгруппой тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

1° ." a,bÎ K, ab,baÎ K.

2° ." aÎ K, a-1Î K.

Þ G-группа, K Ì G. Пусть K p G (подруппы), тогда по определению К-группа. Следовательно, 1° ,2° выполнены.

Ü G-группа, K Ì G, 1° , 2° . Покажем, что K p G, т. е. К-группа.

Для доказательства необходимо проверить четыре условия:

Замкнутость К относительно групповой операции. Ассоциативность этой операции. Существование нейтрального элемента. Существование для каждого элемента обратного.

Из условия видно, что 1 и 4 выполнены. Второе имеет место в силу того, что КÌ G. Проверим 3:

Т. к. " aÎ K, $ a-1Î K ,условие 1° , то аa-1 Î К. Но аa-1= е, следовательно, еÎ К, что и требовалось доказать. Критерий важен в теории групп тем, что сокращает процедуру проверки, является ли подмножество группой (подгруппой).

Особую роль в теории групп имеют подгруппы, называемые нормальными, или нормальными делителями. Выведем это понятие.

Пусть G-группа, K p G-подгруппа. Зададим отношение “сравнения по подгруппе К”:

aº b(mod K)Û ab-1 Î K. Проверим, что отношение “º ”-является эквивалентностью.

1).]aÎ GÞ $ a-1G, aa-1=e, eÎ KÞ aa-1Î KÞ aº a(mod K)Þ ”º ”-рефлексивно.

2).]aº b(mod K)Þ ab-1Î K, (a-b-1)-1Î KÞ ba-1Î KÞ bº a(mod K)Þ ”º ”-симметрично.

3).]aº b(mod K), bº c(mod K)Þ ab-1Î K, bc-1Î KÞ (ab-1)(bc-1)Î KÞ ac-1Î KÞ

aº c(mod K)Þ ”º ”-транзитивно.

Таким образом, отношение сравнение по модулю в G является отношением эквивалентности, а эквивалентность, как известно, задает разбиение на G.

Обозначим класс эквивалентности, образованный элементами g Î G, g¯ и покажем, что g¯=Kg=G

Тогда множество классов эквивалентности, которые называются смежными классами группы G по подгруппе К, образуют фактор-множество.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: бесплатные конспекты, реферат на тему види.





Предыдущая страница реферата | 4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14 | Следующая страница реферата