Вопросы к гос. экзамену по дисциплине "Математика – Алгебра"
| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: рефераты, моря реферат
| Добавил(а) на сайт: Айвазовский.
Предыдущая страница реферата | 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 | Следующая страница реферата
Kg=G/”º ”-фактор-множество.
Аналогично можно вывести отношение сравнения по подгруппе иначе:
“aº b(mod K)Û b-1aÎ K”.
Для различения классы Кg и gК называют правым и левым, причем È Кg=G и È gK=G, a {Kg/gÎ G} и {gK/gÎ G}-образуют фактор-множества.
Возможен случай, когда для " gÎ G, Kg=gK. В этом случае К обозначают буквой Н и называют нормальным делителем группы G по Н. Чем интересен этот случай? Оказывается, над смежным классом группы G по Н можно производить операции, а это позволяет рассматривать новую алгебру.
Зададим операцию “ * ” на множестве смежных классов {Hg/g}, где нормальная подгруппа группы G так: Hg1Hg2=Hg1g2 . Покажем, что выведенная таким образом операция является алгебраической, т. е. покажем, что умножение не зависит от представителей классов, т. е., если
a, a'Î Hg1, b,b'Î Hg2, то abº a'b'(mod H), т.е. ab, a'b'Î Hg1g2.
ab=(h1g1)(h2g2)=h1h2g1g2=hg1g2Þ abÎ Hg1g2;
a'b'=(h1'g1)(h2'g2)=h1'h2'g1g2=h'g1g2Þ a'b'Î Hg1g2, следовательно
ab, a'b' принадлежит одному классу, т. е. Операция “ * ” на множестве классов является алгебраической, что и дает возможность рассматривать новую группу.
Теорема 7. Множество смежных классов группы G по нормальной подгруппе Н образуют группу.
Т. к. G, H p G-нормальная, {Hg/g G}=G/”º ” . Зададим операцию: Hg1Hg2=Hg1g2. Покажем, что фактор-множество по введенной операции является группой.
1° .Hg1(Hg2Hg3)=Hg1(Hg2g3)=Hg1(g2g3)=H(g1g2)g3=Hg1g2Hg3=(Hg1Hg2)Hg3Þ операция ассоциативная.
2. Hg=He=H " Hg, H: HgH=HgHe=Hge=Hg, т. е. Н-выполняет роль нейтрального элемента на фактор-множестве.
3.Hg, Hg-1: HgHg-1=Hgg-1=He=H;
Hg-1Hg=Hg-1g=He=H, семейство класса Hg-1 выполняет роль обратного для Hg,
т.е. (Hg)-1=Hg-1.
так как все аксиомы имеют место, то мы имеем дело с группой. Ее обозначают G/H и называют фактор-группой.
Вопрос 6 Элементы теории колец.
В вопросе требуется ввести понятие кольца, рассмотреть классификацию колец и построить фактор-кольцо.
Так как кольцо это пример одной из алгебр, то следует напомнить определение алгебры.
|
Опр.1 |
Категории:Предыдущая страница реферата | 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 | Следующая страница реферата Поделитесь этой записью или добавьте в закладки |
|
Главная