Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

равной сумме энергии [pic], и члена

[pic] ,

который можно назвать центробежной энергией. Таким образом, задача о движении в центрально-симметричном поле сводится к задаче об одномерном движении в области, ограниченной с одной стороны ( граничное условие при
[pic]). «Одномерный характер» имеет также и условие нормировки для функции
[pic], определяющееся интегралом

[pic].

При одномерном движении в ограниченной с одной стороны области уровни энергии не вырождены. Поэтому можно сказать, что заданием значения энергии решение уравнения (1,10), т.е. радиальная часть волновой функции, определяется полностью. Имея также в виду, что угловая часть волновой функции полностью определяется значениями [pic] и [pic], мы приходим к выводу, что при движении в центрально-симметричном поле волновая функция полностью определяется значениями [pic]. Другими словами, энергия, квадрат момента и его проекция составляют полный набор физических величин для такого движения.

Сведение задачи о движении в центрально-симметричном поле к одномерному позволяет применить осцилляционную теорему. Расположим собственные значения энергии ( дискретного спектра ) при заданном [pic] в порядке возрастания, перенумеровав их порядковыми номерами [pic], причем наиболее низкому уровню приписывается номер [pic]. Тогда [pic] определяет число узлов радиальной части волновой функции при конечных значениях [pic] (не считая точки
[pic]). Число [pic] называют радиальным квантовым числом. Число [pic] при движении в центрально-симметричном поле иногда называют азимутальным квантовым числом, а [pic]- магнитным квантовым числом.

Для обозначения состояний с различными значениями момента [pic] частицы существует общепринятая символика; состояния обозначаются буквами латинского алфавита со следующим соответствием:

[pic] 1 2 3 4 5 6 7 . . .[pic]

[pic] [pic] [pic] [pic]
[pic] [pic] [pic] [pic] (1,13)

Нормальным состоянием при движении частицы в центрально-симметричном поле всегда является [pic]- состояние; действительно, при [pic] угловая часть волновой функции во всяком случае имеет узлы, между тем как волновая функция нормального состояния не должна иметь узлов вовсе. Можно также утверждать, что наименьшее возможное при заданном [pic] собственное значение энергии растет с увеличением [pic]. Это следует уже из того, что наличие момента связано с добавлением в гамильтониане существенно положительного члена [pic], растущего с увеличением [pic].
Определим вид радиальной функции вблизи начала координат. При этом будет считать, что

[pic]

(1,14)

Ищем [pic] в виде степенного ряда по [pic], оставляя при малых [pic] только первый член разложения; другими словами, ищем [pic] в виде [pic].
Подставляя это в уравнение

[pic],

получающееся из (1,8) умножением последнего на [pic] и переходя к [pic], найдем

[pic].

Отсюда

[pic] или
[pic].

Решение [pic] не удовлетворяет необходимым условиям; оно обращается в бесконечность при [pic] ( напомним, что [pic] ). Таким образом, остается решение с [pic], т.е. вблизи начала координат волновые функции состояний с данным [pic] пропорциональны [pic]:

[pic].

(1,15)

Вероятность частице находиться на расстоянии от центра между [pic] и [pic] определяется величиной [pic] и поэтому пропорциональна [pic]. Мы видим, что она тем быстрее обращается в нуль в начале координат, чем больше значение
[pic].

2. Падение частицы на центр.

Для выяснения некоторых особенностей квантовомеханического движения полезно изучить случай, не имеющий, правда, непосредственного физического смысла, - движение частицы в поле с потенциальной энергией, обращающейся в некоторой точке ( начале координат ) в бесконечность по закону [pic]; вид поля вдали от начала координат нас не будет интересовать. Этот случай – промежуточный между теми, когда имеются обычные стационарные состояния, и случаями, когда происходит «падение» частицы на начало координат.

Вблизи начала координат уравнение Шредингера в рассматриваемом случае будет следующим:

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: реферат мировой, куплю диплом.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата