Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата

[pic].

Но в арифметической теории квадратичных форм (т.е. в теории форм над кольцами и в первую очередь над кольцом [pic] целых чисел) более предпочтительной является запись вида (1).

Определение 2. Бинарная квадратичная форма (1) называется классически целой
(или целочисленной по Гауссу), если в ней коэффициенты [pic] являются целыми числами.

Мы будем в основном рассматривать только классические квадратичные формы и называть их просто численными.
Определение 3. Бинарные целочисленные квадратичные формы [pic] и [pic] называются собственно эквивалентными, если существует линейная подстановка переменных

[pic] (2)

с целыми коэффициентами [pic] и определителем [pic], переводящая форму
[pic] в форму [pic], т.е. такая, что выполняется равенство

[pic] (3)

и несобственно эквивалентными, если целочисленная подстановка (2) с определителем [pic] переводит форму [pic] в форму [pic]. Эквивалентность таких форм обозначаем так: [pic]~[pic]

Из (3) и (2) следуют соотношения

[pic]

[pic] (4)

[pic]

связывающие коэффициенты двух эквивалентных форм [pic] и [pic].
Определение 4. Дискриминантом бинарной квадратичной формы [pic] называется число [pic].
Предложение 1. Эквивалентные бинарные квадратичные формы имеют один и тот же дискриминант.

Доказательство. Пусть форма [pic] эквивалентна (собственно или несобственно) форме[pic]. Тогда по определению 3 существуют целые числа
[pic] с определителем [pic], при которых выполнены соотношения (4). Из них получаем

[pic],

т.е. предложение 1 доказано.

Заметим, что обратное утверждение вообще говоря неверно, т.е. из того, что бинарные квадратичные формы имеют один и тот же дискриминант еще не следует, что они эквивалентны. Следующий общий факт приведем без доказательства.
Предложение 2. Отношение собственной эквивалентности бинарных квадратичных форм обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.
Определение 5. Если для квадратичной формы [pic] и для целого числа [pic] при некоторых целых [pic] и [pic] выполняется равенство [pic], то говорят, что квадратичная форма [pic] представляет число [pic].
Пример. Квадратичная форма [pic] представляет число [pic], т.к. число [pic] является значением квадратичной формы [pic] при [pic], т.е. равенство [pic] выполняется при [pic].
Предложение 3. Эквивалентные бинарные квадратичные формы представляют одно и то же множество целых чисел.

Доказательство. Пусть формы [pic] и [pic] эквивалентны. Тогда существует унимодулярная целочисленная подстановка переменных:

[pic]

[pic]

и, значит,

[pic].

Положив теперь в этом равенстве [pic], получим
[pic],

т.е. форма [pic] тоже представляет число [pic]. Поскольку отношение эквивалентности бинарных квадратичных форм обладает свойством симметричности (предложение 2) то и любое число, представимое формой [pic] будет представимое и формой [pic].
Предложение 3 доказано.

Определение 5. Классом [pic] форм называется множество всех бинарных квадратичных форм, собственно эквивалентных форме [pic].

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: культурология, сочинение 3.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата