Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата

В силу предложения 2 и определения 5 можно сказать, что множество бинарных квадратичных форм данного дискриминанта распадается на классы форм, собственно эквивалентных относительно унимодулярного целочисленного преобразования переменных (2).

Далее, в зависимости от знака дискриминанта [pic] бинарные квадратичные формы делятся на определенные и неопределенные формы.
Определение 6. Квадратичная форма [pic] дискриминанта [pic] называется определенной, если [pic] и неопределенной, если [pic]. Такое определение подсказано тем, что при [pic] бинарная квадратичная форма принимает значения только одного знака (положительные при [pic] и отрицательные при
[pic]), а при [pic] она принимает как положительные, так и отрицательные значения. Теория неопределенных бинарных квадратичных форм существенно отличается от теории определенных форм и мы будем рассматривать в данной работе только неопределенные формы.

Рассмотрим теперь вкратце теорию приведения неопределенных бинарных квадратичных форм. Суть этой теории состоит в выделении в каждом классе так называемых приведенных форм - «стандартных» форм класса. Рассматривая квадратичные формы положительного дискриминанта будем считать ее коэффициенты произвольными вещественными числами. Кроме того будем предполагать, что крайние коэффициенты [pic] и [pic]формы [pic] отличны от нуля и корни уравнения [pic] вещественны, различны и иррациональны.

Назовем корень [pic] этого уравнения первым, а [pic]- вторым корнем формы [pic] (см. [1]), причем [pic] есть дискриминант формы [pic].

Определение 7. Неопределенная квадратичная форма
[pic] с корнями [pic] называется приведенной, если [pic].

Покажем, что у приведенной формы [pic] выполняются неравенства [pic],
[pic], причем [pic] и [pic] заключаются между [pic] и [pic]. В самом деле, из условия [pic] получаем

[pic],

[pic], [pic], [pic].

Далее, [pic], [pic], т.е. выполняется указанное неравенство [pic].
Обратимся теперь к условиям
[pic] и [pic]. Из них следуют

[pic], [pic] (*)

Аналогично имеем

[pic], [pic] (**)

Покажем теперь, что [pic]. Допустим, что [pic]. Тогда из неравенств (*) и
(**) следуют

[pic] и [pic].

Но последние два неравенства не могут одновременно выполняться. Значит, наше допущение, что [pic] неверно и мы получаем неравенства [pic]. Наконец, покажем, что

[pic] и [pic].
Т.к. [pic], то из неравенств (*) и (**) получаем [pic]. С учетом этих неравенств и равенства [pic], мы получим и неравенства для [pic].

Обратно, система неравенств

[pic] или [pic]

характеризует приведенность неопределенной формы [pic]. Поэтому определению приведенной формы можно придать следующий вид. Определение 8. Бинарная квадратичная форма [pic] дискриминанта [pic] называется приведенной, если
[pic] или
[pic]

Без доказательства приведем следующее свойство приведенных форм.
Предложение 4. Каждая форма дискриминанта [pic] собственно эквивалентна некоторой приведенной форме.

Доказательство см. [1,2]. В [1] используется аппарат непрерывной дроби, а в [2] понятие соседней формы.
Определение 9. Целочисленная квадратичная форма [pic] называется собственно примитивной, если наибольший общий делитель ее коэффициентов равен [pic], т.е.
НОД [pic] и несобственно примитивной, если
НОД [pic]. В остальных случаях форма называется не примитивной.
Определение 10. Пусть [pic]- наибольший общий делитель чисел [pic] для формы [pic] определителя [pic]. Множество бинарных квадратичных форм с одними и теми же [pic] и (при [pic]) с одним и тем же знаком крайних коэффициентов [pic] называется порядком форм.

Так как [pic] и знаки получающихся коэффициентов [pic] при [pic] не меняются при переходе от данной формы к эквивалентной ей форме, то порядок состоит из нескольких классов.

При [pic] формы и порядок называются собственно примитивными, а при
[pic] и [pic] ([pic])- несобственно примитивными. Собственно и классы форм называются собственно примитивными и несобственно примитивными.

Возникает вопрос: конечно или бесконечно число целочисленных приведенных неопределенных форм. Ответ дает следующее.
Предложение 5. Число всех целочисленных приведенных неопределенных форм с заданным дискриминантом конечно.

Доказательство см. [2,п.185].

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: культурология, сочинение 3.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата