Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата

§2. О периодах неопределенных бинарных квадратичных уравнений

Теория неопределенных бинарных квадратичных форм существенно отличается от теории определенных форм наличием периодов приведенных форм.
Гаусс первым обнаружил это явление и глубоко вник в природу приведенных форм с положительным неквадратным дискриминантом в связи с решением основных задач этой теории (см. [1,2]). В этом параграфе мы дадим основные свойства периодов неопределенных форм.

Нашему изложению мы сначала предпошлем те основные понятия из гауссовой теории квадратичных форм, которые нам понадобятся в дальнейшем
(см. [1,2]).
Определение 1. формой соседней справа к целочисленной форме [pic] называется форма [pic], которая получается из формы [pic] подстановкой
[pic], где [pic]-некоторое целое число.

Заметим, что при такой подстановке форма [pic] собственно эквивалентна форме [pic]. Зависимость между соседними формами [pic] и [pic] можно охарактеризовать так: во-первых, формы [pic] и [pic] имеют одинаковый дискриминант; во-вторых, последний коэффициент [pic] формы [pic] является вместе с тем первым коэффициентом формы [pic]; в третьих, сумма их средних коэффициентов [pic] делится на [pic].

Аналогичным образом определяется соседняя слева форма [pic] к форме
[pic].
Из определения соседних форм непосредственно следует
Предложение 1. Соседние формы собственно эквивалентны.

С помощью процесса нахождения последовательных соседних форм мы придем к другому важному понятию периода приведенных форм. Именно, пусть
[pic]-приведенная форма дискриминанта [pic] и для нее [pic] является соседней справа; для [pic] форма [pic] является соседней справа; для [pic] форма [pic] является соседней справа и т.д. Тогда все формы
[pic],[pic],[pic],…, являются собственно эквивалентными между собой, так и форме [pic].

Так как в силу предложения 5 §1 число всех целочисленных приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм с заданным дискриминантом конечно, то в бесконечном ряду форм [pic],[pic],[pic],[pic],… не все формы могут быть различными между собой. Если предположить, что [pic] и [pic] совпадают, то формы [pic] и [pic] будут приведенными соседними слева для одной и той же приведенной формы и потому будут совпадать. Поэтому [pic] и
[pic] и т.д. будут совпадать. Следовательно, в ряду [pic],[pic],[pic],… обязательно повторится первая форма [pic] и если [pic]- первая форма в этом ряду, совпадающая с [pic], то все формы [pic],[pic],[pic],[pic],…,[pic] различны между собой.
Определение 2. Совокупность различных последовательных соседних приведенных неопределенных форм [pic],[pic],[pic],…,[pic] называется периодом формы
[pic].

Приведем несколько общих замечаний об этих периодах, следующих из их определения (см. [2]).
Предложение 2. Если формы [pic],[pic],[pic],… представлены следующим образом
[pic], [pic], [pic],…,[pic], [pic], [pic],…, то все величины [pic] будут иметь одинаковые знаки, причем [pic] все будут положительны.

Отсюда получается следующее свойство периодов.
Предложение 3. Количество квадратичных форм, из которых состоит период заданной формы [pic] всегда четно.

Доказательство предложения 3 см. [1,2].

Заметим, что каждая форма [pic], которая содержится в периоде формы
[pic] будет иметь тот же период, что и [pic].Именно, этот период будет таков:

[pic].

Отсюда получается следующее свойство периодов.
Предложение 4. Все целочисленные неопределенные бинарные квадратичные формы с одинаковым дискриминантом могут быть разбиты на периоды.

Доказательство (см. [2] разд. V, п.187) основано на том их свойстве, что периоды либо совпадают либо они попарно не пересекаются и каждая форма попадет только в один из периодов.

Пример. Все приведенные неопределенные формы с дискриминантом [pic] разбиваются на следующие шесть периодов:

I. [pic];

II. [pic];

III. [pic];

IV. [pic];

V. [pic];

VI. [pic].

Видим что в каждом периоде содержится четное число приведенных форм: в периодах I и II по четыре формы, а в остальных периодах по шесть форм.

Особы интерес представляют так называемые обратные и двусторонние формы, показывающие наряду с гауссовой композицией форм глубокий смысл различия собственной и несобственной эквивалентностью целочисленных бинарных квадратичных форм.
Определение 3. Формы [pic] и [pic], и их классы называются обратными: если
[pic]- один из этих классов, то другой класс [pic] будет обратным к классу
[pic] в смысле композиции классов.
Замечание. Так как форма [pic] переводится в форму [pic] подстановкой [pic] определителя [pic], то каждая форма класса [pic] несобственно эквивалентна каждой форме из обратного класса [pic] и обратно, при несобственной эквивалентности двух форм их классы будут обратными. (при этом еще учитывается, что если форма [pic] несобственно эквивалентна [pic], а [pic] собственно эквивалентна [pic], то [pic] несобственно эквивалентна [pic]).
Определение 4. Класс бинарных квадратичных форм, совпадающий с обратным, называется двусторонним классом.

Из этого определения с учетом сделанного выше замечания получается
Предложение 5. Каждая форма двустороннего класса несобственно эквивалентна самой себе.

Доказательство. Пусть [pic]- двусторонний класс и [pic]. Покажем, что
[pic] несобственно эквивалентна самой себе. Обозначим [pic].
Тогда форма [pic] и пусть [pic] переводится в [pic] подстановкой [pic] и запишем это в следующем виде: [pic]. Т.к. [pic]- двусторонний класс, т.е.
[pic], то [pic]. Но так как [pic], то [pic] и [pic] собственно эквивалентны, то найдется подстановка [pic] определителя [pic], что [pic].
Тогда получаем [pic], т.е. [pic]. Но так как [pic], то форма [pic] несобственно эквивалентна самой себе.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: культурология, сочинение 3.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата