Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата

Предложение 5 доказано.

Определение 5. Форма [pic], в которой [pic] делится на [pic], называется двусторонней.

Следующие два предложения дают некоторую информацию о строении двусторонних классов.
Предложение 6. В каждом двустороннем классе содержится по крайней мере одна двусторонняя форма.
Предложение 7. В каждом двустороннем классе положительного дискриминанта содержатся две и только две приведенные двусторонние формы.

Доказательство этих предложений имеются в [1,2].

Перейдем теперь к изложению основных результатов этого параграфа.
Возникает еще вопрос: всегда ли двусторонняя форма принадлежит некоторому двустороннему классу. Ответ дает следующая теорема

Теорема 1. Каждая двусторонняя форма принадлежит некоторому двустороннему классу .

Доказательство. Пусть [pic]- двусторонняя форма, т.е. [pic] ([pic] делится на [pic]) и обозначим ее класс через [pic]. Покажем, что [pic]- двусторонний класс. По определению обратная к [pic] форме [pic]. Так как
[pic], то форма [pic] переводится в себя подстановкой [pic]. Далее имеем, что [pic] переводится в [pic] подстановкой

[pic]

определителя 1, т.е. [pic] и [pic] собственно эквивалентны. Тогда они принадлежат одному и тому же классу, т.е. [pic] и значит, [pic]- двусторонний класс.

Теорема 1 доказана.

В связи с предложением 7 возникает еще следующий вопрос: могут ли быть в периоде форм двустороннего класса приведенные двусторонние формы соседними друг другу? Следующее утверждение дает необходимое условие того, что двусторонние приведенные формы будут соседними.

Теорема 2. Для того чтобы двусторонние примитивные приведенные формы
[pic] и [pic] из двустороннего класса дискриминанта [pic] были соседними необходимо, чтобы [pic], где [pic]- целая часть числа [pic].
Доказательство. Пусть формы [pic] и [pic] соседние. Тогда [pic], где [pic]- некоторое целое число. Так как [pic] и [pic]- двусторонние формы, то [pic] и [pic], где последнюю делимость можно заменить следующим условием: [pic] или что тоже самое [pic], откуда [pic]. Тогда в силу взаимной простоты
[pic] и [pic] (это следует из примитивности формы [pic]) из условий делимости [pic] и [pic] следует, что [pic]. Но так как [pic], то [pic] или что тоже самое [pic]. Из последнего условия делимости следует неравенство
[pic], откуда [pic]. Но так как форма [pic] приведенная, то для числа [pic] должны выполняться неравенства [pic], из которых в свою очередь следует, что [pic].

Теорема 2 доказана.
Пример. Для [pic] следующие четыре периода по две соседние двусторонние формы

[pic], [pic]

[pic], [pic]

[pic], [pic]

[pic], [pic]

При этом эти формы удовлетворяют теореме 2, т.к. [pic].
Замечание. Из полученной теоремы следует, что приведенные двусторонние формы будут соседними в очень малом числе случаев и в большинстве случаев они не будут соседними. Вопрос о точном числе случаев, когда приведенные двусторонние формы будут соседними по-видимому является очень трудным и мы его не рассматриваем.

§3. Об оценке сверху числа приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм.

О числе приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм, так и о числе классов неопределенных квадратичных форм известно очень мало. Для числа классов бинарных квадратичных форм имеется точная формула Дирихле.
Другим важным результатом являются неравенства, принадлежащие немецкому математику Зигелю.

[pic],

где [pic]- число приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм дискриминанта [pic]; [pic] и [pic]- положительные постоянные, зависящие от
[pic]; причем [pic]- любое фиксированное положительное число. Наша цель состоит в том, чтобы элементарным способом доказать верхнюю оценку в неравенствах Зигеля для [pic]. Приводимое доказательство будет опираться на некоторые свойства функции числа положительных делителей натурального числа и мы их приведем вначале.

Арифметическая функция [pic] определяется как число положительных делителей натурального числа [pic].

Предложение 1. Функция [pic] мультипликативна, т.е. [pic], если [pic].

Из этого предложения 1 легко выводится следующее
Предложение 2. Если [pic]- каноническое разложение натурального числа
[pic], то

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: культурология, сочинение 3.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата