Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата

В этом параграфе мы получим одну оценку снизу для числа классов в роде неопределенных бинарных квадратичных форм. Сначала введем соответствующие понятия.
Определение 1. Целое число [pic], не делящееся на простое число [pic] называется квадратичным вычетом по модулю простого числа, если число [pic] сравнимо с квадратом некоторого целого числа по модулю [pic], т.е. [pic]- квадратичный вычет по модулю [pic], если сравнение [pic] имеет решение; в противном случае число [pic] называется квадратичным невычетом по модулю
[pic]. В теории квадратичных вычетов очень полезно использование так называемого символа Лежандра.
Определение 2. Символом Лежандра [pic] числа [pic] по простому модулю
[pic], которое определяется следующим соотношением
[pic]

Приведем некоторые основные свойства символа Лежандра, которые нам понадобятся.

Свойство 1. [pic], если [pic].

Свойство 2. Если [pic], то [pic] (свойство периодичности).

Свойство 3. [pic] (свойство мультипликативности)

Свойство 4. [pic], если [pic].

Определим теперь понятие рода квадратичных форм, впервые введенное
Гауссом. Совокупность классов собственно примитивного порядка данного дискриминанта [pic] Гаусс в своей арифметической теории квадратичных форм разделяет на ряды, относя в один и тот же род все те классы, формы которых имеют и тот же «характер». Под характером примитивной формы или примитивного класса форм Гаусс понимает следующее.

Пусть [pic]- простой делитель дискриминанта [pic], и пусть число всех этих различных модулей [pic] равно [pic]. Можно показать, что если [pic]- один из этих [pic] модулей, то для всех чисел [pic], представимых данной собственно примитивной формой дискриминанта [pic] и взаимно простых с
[pic], символы Лежандра [pic] имеют одно и то же значение. В самом деле, пусть

[pic]- собственно примитивная форма дискриминанта [pic] и [pic]- любой нечетный простой делитель числа [pic] и [pic], [pic]- два числа, представляемых формой [pic] и не делящихся на [pic]. Подстановка [pic] определителя [pic] переводит [pic] в форму [pic] (см. соотношения (3) §1), причем [pic], откуда [pic], т.е. в силу определения символа Лежандра имеем
[pic]. Из этого равенства в очередь на основании свойств 3 и 4следует, что
[pic]. Итак, символ Лежандра [pic] имеет одно и то же значение для всех чисел [pic], представляемых формой [pic]. Выпишем эти символы Лежандра, которые все равны [pic] или [pic] для всех [pic] указанных модулей [pic], взятых в определенном выбранном порядке. Тогда для данной квадратичной формы получается некоторая определенная последовательность [pic] чисел, равных [pic]. Эта последовательность чисел, равных [pic] и называется характером рассматриваемой собственно примитивной бинарной квадратичной формы дискриминанта [pic] или характером класса этой формы.

Так как число всех различных последовательностей, составленных из
[pic] членов, равных [pic] или [pic] равно [pic], то число различных характеров форм данного дискриминанта, а следовательно и число родов не больше, чем [pic]. Чтобы решить вопрос о точном числе родов Гаусс вводит в рассмотрение операции композиции классов и композиции родов квадратичных форм. Не вдаваясь в эту сложную теорию Гаусса, мы приведем его результаты о числе родов и о числе классов в каждом роде.

Теорема 1 (Гаусс). Число родов бинарных квадратичных форм в данном собственно примитивном порядке дискриминанта [pic] равно [pic], где [pic] определяется следующими условиями:

[pic] при [pic],

[pic] при [pic],

[pic] при [pic],

при этом [pic]- число различных простых делителей числа [pic].

Теорема 2 (Гаусс). Каждый род собственно примитивного порядка содержит одно и то же число классов, т.е.

[pic],

где [pic]- число всех классов, [pic]- число классов в каждом роде и [pic]- число родов.

Перейдем теперь после такого предварительного обсуждения к изложению результатов данного параграфа. Следующая теорема устанавливает существование неэквивалентных диагональных квадратичных форм данного дискриминанта.

Теорема 3. Диагональная форма [pic] дискриминанта [pic] не эквивалентна никакой другой диагональной форме того же дискриминанта.

Доказательство. Допустим, что диагональная форма

[pic] (1)

дискриминанта [pic] собственно эквивалентна другой диагональной форме

[pic] (2)

того же дискриминанта [pic]. Тогда найдется целочисленная унимодулярная подстановка [pic], которая переводит форму [pic] в форму [pic].
Имеем

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: культурология, сочинение 3.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата