Предыдущая страница реферата | 17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27 | Следующая страница реферата

Пример 2. Решим неравенство:

[pic]

Решение. Найдем ОДЗ неравенства:

[pic]

откуда получаем, что ОДЗ неравенства х = 2 – единственная точка.
Подстановкой легко проверить, что х = 2 является решением исходного неравенства.

Ответ: х = 2.

12. Решение более сложных примеров.

Пример 1. Решить неравенство

[pic]

Решение. Используем метод интервалов. Решим соответствующее уравнение.

[pic]

Решением уравнения являются значения переменной х = 0 и [pic] при любом действительном значении параметра а.

Корни соответствующего уравнения разбивают числовую ось на промежутки знакопостоянтства, в каждом из которых неравенство или тождественно истинное, или тождественно ложное.

0, то [pic] и числовая ось разбивается на следующие промежутки знакопостоянства: x < 0, [pic]

Рассмотрим промежуток [pic]. Возьмем значение х = а из этого промежутка и подставим в данное неравенство. Получим: [pic] - истинное числовое неравенство. Следовательно, промежуток [pic] принадлежит решению.
Любое значение переменной х, взятое из промежутка знакопостоянства [pic]
, обращает данное неравенство в ложное числовое неравенство. Например, при
[pic] имеем ложное числовое неравенство [pic].

Следовательно, промежуток [pic] не принадлежит решению.

Подставив, например, х = -а, взятое из промежутка знакопостоянства x <
0, в данное неравенство, получим истинное числовое неравенство [pic].
Значит, числовой промежуток x 0 решением неравенства является объединение двух числовых промежутков x < 0 и [pic]. б) если a < 0, то [pic] и числовая ось разбивается на промежутки знакопостоянства [pic]. Как и в первом случае, устанавливаем, что данное неравенство тождественно истинное в промежутках [pic] и x > 0 и тождественно ложное в промежутке [pic]. Следовательно, при a < 0 решением неравенства будет объединение двух числовых промежутков [pic] и x > 0. в) при а = 0 [pic]. Получим два промежутка знакопостоянства: x < 0 и x > 0, каждый из которых, как легко установить принадлежит решению.

Ответ: 1) при [pic]

2) при [pic].
Пример 2. Решить неравенство

[pic]

ОДЗ: 5х – 7 ? 0 log57 ? x < +?

[pic]

Возводим обе части в квадрат:

[pic]

решением последнего неравенства является промежуток х ? 2. Учитывая ОДЗ получаем решение исходного неравенства log57 ? x ? 2.

Ответ: log57 ? x ? 2.

13. Подборка задач по теме «решение иррациональных неравенств».

[pic]

[pic]

14. Классические неравенства.

Рассмотрим некоторые наиболее важные для математического анализа неравенства. Эти неравенства служат аппаратом, который повседневно используют специалисты, работающие в этой области математики.

Теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом.

Теорема 1. Среднее арифметическое любых двух неотрицательных чисел а и b не меньше их среднего геометрического, т. е.:

[pic] (1)

Равенство имеет место в том и только том случае, когда a = b.

Доказательство. Поскольку квадратный корень может доставить немало хлопот, мы постараемся от него избавиться, положив a = c2, b = d2, что допустимо, ибо в теореме 1 предполагается, что числа а и b неотрицательны. При этом соотношение (1), в справедливости которого для произвольных неотрицательных чисел а и b мы хотим убедиться, примет следующий вид:

[pic], (2)

где с и d – произвольные действительные числа.
Неравенство (2) имеет место в том и только том случае, когда

[pic], что в силу основных правил, относящихся к неравенствам, равносильно тому, что

с2 + d2 – 2cd ? 0 (3)

Но с2 + d2 – 2cd = (с – d)2 , значит неравенство (3) равносильно

(с – d)2 ? 0 (4)

Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то ясно, что соотношение (4) всегда имеет место. Значит справедливы и неравенства
(3), (2), (1). Равенство в формуле (4), а значит и в формуле (1) достигается в том и только в том случае, когда c – d = 0, т.е. c = d, или, иначе говоря, когда a = b.

Покажем теперь, что теорему 1 можно вывести геометрическим путем простого сравнения некоторых площадей.

Рассмотрим график функции у = х, изображенный на рисунке.

Пусть S и Т точки прямой у = х с координатами (с, с) и (d, d).
Рассмотрим также точки Р(с, 0), Q(0, d), R(c, d). Так как длина отрезка ОР равна с, то длина отрезка PS также равна с. Поэтому площадь ?OPS, полупроизведение длин его основания и высоты равна [pic].

Рассмотрим теперь прямоугольник OPRQ. Он полностью покрывается ?OPS и
?OQT, так что

SOPS + SOQT ? SOPRQ (5)

Так как площадь прямоугольника OPRQ – произведение длин его основания и высоты – равна сd, то при помощи алгебраических символов соотношение (5) можно записать так:

[pic]

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: отцы и дети сочинение, доклады о животны.

Предыдущая страница реферата | 17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27 | Следующая страница реферата