Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата

Обобщением трех рассмотренных схем является однопараметрическое семейство схем с весами. Зададим произвольный действительный параметр s и определим разностную схему

(15)

При s = 0 получим отсюда явную схему, при s = 1 – чисто неявную схему и при s = 0,5 – симметричную схему (14). Исследуем погрешность аппроксимации схемы (15) на решении исходной задачи (1) – (3). Представим решение задачи (15) в виде yin = u(xi, tn) + zin, где u(xi, tn) – точное решение дифференциальной задачи (1) – (3). Тогда для погрешности получим систему уравнений

(16)

i = 1, 2,…, N – 1, n = 0, 1,…, K – 1,

z0n+1 = zNn+1 = 0, n = 0, 1,…, K – 1, zi0 = 0, i = 0, 1,…, N.

Сеточная функция y in, входящая в правую часть уравнения (16) и равная

(17)

называется погрешностью аппроксимации схемы (15) на решении задачи (1) – (3). Получим первые члены разложения функции y in по степеням h и t . Будем разлагать все функции, входящие в выражение для y in, по формуле Тейлора в точке (xi, tn + 0,5t ). Учитывая разложения

где

получим

Отсюда, проводя разложение в точке (xi, tn+1/2) и обозначая u = u (xi, tn+1/2), будем иметь

и, перегруппировывая слагаемые, получим, что

Учитывая уравнение (1) u’’ – u = – f и следствие из него uIV – u’’ = –f’’, окончательно можно записать, что

(18)

Из формулы (18) можно сделать следующие выводы. Если

то схема (15) имеет второй порядок аппроксимации по t и четвертый – по h. Такая схема называется схемой повышенного порядка аппроксимации. Если

то схема (15) имеет второй порядок аппроксимации по t и по h. При остальных значениях s и при j in є 0 в виде (10), то получим

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: понятие культуры, баллов.





Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата