Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата

Здесь u0(x), m 1(t), m 2(t) – заданные функции. Известно, что при определенных предположениях гладкости решение задачи (1)–(3) существует и единственно. В дальнейшем при исследовании аппроксимации разностных схем будем предполагать, что решение u(x, t) обладает необходимым по ходу изложения числом производных по x и по t. Решение задачи (1) – (3) удовлетворяет принципу максимума и тем самым непрерывно зависит от начальных и граничных данных.

3.2. Явная схема.

Как всегда, для построения разностной схемы надо прежде всего ввести сетку в области изменения независимых переменных и задать шаблон, т.е. множество точек сетки, участвующих в аппроксимации дифференциального выражения. Введем сетку по переменному x такую же, как в предыдущей главе, т.е.

w h = {xi = ih, i = 0, 1,…, N, hN = 1}

и сетку по переменному t с шагом t , которую обозначим

w t = {tn = nt , n = 0, 1,…, K, Kt = T}

Точки (xi, tn), i = 0, 1,…, N, n = 0, 1,…, K, образуют узлы пространственно-временной сетки w h, t = w h x w t . Узлы (xi, tn), принадлежащие отрезкам I0 = {0 Ј x Ј 1, t = 0}, I1 = {x = 0, 0 Ј t Ј T}, I2 = {x = 1, 0 Ј t Ј T}, называются граничными узлами сетки w h, t , а остальные узлы – внутренними. На рисунке граничные узлы обозначены крестиками, а внутренние – кружочками.

Слоем называется множество всех узлов сетки w h, t , имеющих одну и ту же временную координату. Так, n-м слоем называется множество узлов

(x0, tn), (x1, tn),…, (xN, tn).

Для функции y(x, t), определенной на сетке w h, t , введем обозначения yni = y(xi, tn),

(4)

Иногда для упрощения записи индексы i и n будем опускать, обозначая

Чтобы аппроксимировать уравнение (1) в точке (xi, tn), введем шаблон, изображенный на рисунке и состоящий из четырех узлов (xi± 1, tn), (xi, tn), (xi, tn+1). Производную ¶ u/¶ t заменим в точке (xi, tn) разностным отношением ynt, i, а производную ¶ 2u/¶ 2x – второй разностной производной ynxx, i. Правую часть f(x, t) заменим приближенно сеточной функцией j ni, в качестве j ni можно взять одно из следующих выражений:

В результате получим разносное уравнение

(5)

которое аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение в точке (xi, tn) с первым порядком по t и вторым порядком по h при условии, что разность j ni – f(xi, tn) имеет тот же порядок малости.

Под разностной схемой понимается совокупность разностных уравнений, аппроксимирующих основное дифференциальное уравнение во всех внутренних узлах сетки и дополнительные (начальные и граничные) условия – в граничных узлах сетки. Разностную схему по аналогии с дифференциальной задачей будем называть также разностной задачей. В данном случае разностная схема имеет вид

(6)

Эта схема представляет собой систему линейных алгебраических уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных. Находить решение такой системы следует по слоям. Решение на нулевом слое задано начальными условиями y0i = u0(xi), i = 0, 1,…, N. Если решение yni, i = 0, 1,…, N, на слое n уже найдено, то решение yin+1 на слое n+1 находится по явной формуле

(7)

а значениядоопределяются из граничных

условий. По этой причине схема (6) называется явной разностной схемой. Несколько позже мы познакомимся и с неявными схемами, в которых для нахождения yin+1 при заданных yin требуется решать систему уравнений.

Погрешность разностной схемы (6) определяется как разность zin = yin – u(xi, tn) между решением задачи (6) и решением исходной задачи (1) – (3). Подставляя в (6) yin = zin + u(xi, tn), получим уравнение для погрешности

(8)

где – погрешность аппроксимации разностной

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: понятие культуры, баллов.





Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата