Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Обозначим через Lu(x) левую часть уравнения (1) и через Lhyi – левую часть уравнения (3), т.е.

Пусть u (x) – достаточно гладкая функция и u (xi) – ее значение в точке xi сетки

w h = {xi = ih, i = 0, 1, …,N, hN = l}(7)

Говорят, что разностный оператор Lh аппроксимирует дифференциальный оператор L в точке x=xi, если разность Lhu i – Lhu (xi) стремится к нулю при h® 0. В этом случае говорят также, что разностное уравнение (3) аппроксимирует дифференциальное уравнение (1).

Чтобы установить наличие аппроксимации, достаточно разложить по формуле Тейлора в точке x=xi значения u i± 1 = u (xi ± h), входящие в разностное выражение Lhu i. Большая часть этой работы проделана в предыдущей главе, где показано, что при условиях

(8)

выполняется соотношение

Если кроме того, докажем, что

di = q(xi) + O(h2), j i = f(xi) + O(h2)(9)

то тем самым будет установлено, что оператор Lh аппроксимирует L со вторым порядком по h, т.е.

Lhu i – Lu (xi) = O(h2), i = 1, 2,…, N–1(10)

Итак, доказательство второго порядка аппроксимации сводится к проверке сводится к проверке условий (8), (9) для коэффициентов (5), (6). Проверим сначала выполнение условий (8). Обозначая p(x) = k-1(x), получим

следовательно,

Аналогично

Отсюда получим

т.е. условия (8) выполнены. Условия (9) выполнены в силу того, что замена интегралов (6) значениями qi, fi соответствует приближенному вычислению этих интегралов по формуле прямоугольников с узлом в середине отрезка интегрирования.

2.2. Аппроксимация граничного условия.

Исследуем погрешность аппроксимации разностного граничного условия (4). Обозначим lhu (0) = –a1u x, 0 + b u 0. Если u (x) – произвольная достаточно гладкая функция, то очевидно

lhu (0) = –k(0) u ’(0) + b u (0) + O(h),

т.е. имеет место аппроксимация первого порядка по h. Однако если u =u(x) – решение задачи (1), (2), то разностное граничное условие (4) имеет второй порядок аппроксимации, т.е.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: понятие культуры, баллов.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата