Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата

и |q| Ј 1 при всех j , если

(19)

Отсюда видно, в частности, что все схемы с s 0,5 абсолютно устойчивы. Схема повышенного порядка аппроксимации (s = s *) также абсолютно устойчива, что проверяется непосредственно.

При s 0 разностная схема (15) является неявной схемой. Для нахождения решения yin+1 по заданным yin требуется решать систему уравнений

(20)

где

Система (20) решается методом прогонки. Условия устойчивости прогонки при s 0 сводятся к неравенству

|1 + 2s g | і 2 |s | g

и выполнены при s – 1/(4g ). Последнее неравенство следует из условия устойчивости (19) разностной схемы.

3.4. Уравнения с переменными коэффициентами и линейные уравнения.

Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами

(21)

где r (x, t), k(x, t), f(x, t) – достаточно гладкие функции, удовлетворяющие условиям

0 < c1 Ј k(x, t) Ј c2, r (x, t) і c3 > 0.(22)

Дифференциальное выражениепри каждом

фиксированном t аппроксимируем в точке (xi, t) так же, как и в стационарном случае, разностным отношением

где разностный коэффициент теплопроводности a(xi, t) должен удовлетворять условиям второго порядка аппроксимации

Наиболее употребительны следующие выражения для a(xi, t):

Разностная схема с весами для задачи (21) имеет вид

(24)

Здесь в качестве t можно взять любое значение t О [tn, tn+1], например t = tn + 0,5t . Если в уравнении (24) t = tn + 0,5t , s = 0,5, то схема (24) имеет второй порядок аппроксимации по t и по h. При остальных значениях s и t выполняется первый порядок аппроксимации по t и второй – по h.

При исследовании устойчивости разностных схем с переменными коэффициентами иногда применяется принцип замороженных коэффициентов, сводящий задачу к уравнению с постоянными коэффициентами. Рассмотрим явную схему, соответствующую уравнению (24) с s = 0 и f(xi, t) є 0, т.е. схему

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: понятие культуры, баллов.





Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата