Предыдущая страница реферата | 17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27 | Следующая страница реферата



най р-простое число такое, что ri× rj:p1Þ m:p

Если ri или rj делятся на р, то нарушаем условие (1).Если ri p, то по известному утверждению,

² a× b:p,(a,p)=1Þ b:p² , следует, ri:p, что также приводит к противоречию (1). И так,

(ri:rj,p)=1Þ

(ri× rj,p)=1, т.е.rirgÎ { r1,r2,…rj(m)} , что утверждает с необходимостью замкнутость

очередного умножения. Так как классы вычетов riÎ Z m, то умножение

Так как (1,m)=1, то ri=1, т.е. единый класс в рассматриваемом множестве есть.

Пусть аÎ Z , (а,m)=1, рассмотрим{ ar1,ar2,…arg(m)} .Легко показать, что

Это тоже приведенная система вычетов.Тогда ari=1Þ a× ri=1, т.е. для ri

Существует класс ему обратный: а=ri-1. Можно существование обратного класса доказать и таким

Способом: a,r2…rg(m)=rj, сократим на ri, получим r1,r2…rj-1,rj+1 rg(m)=1, тогда

(r2…rg(m)=(r1)-1,(r1r3…rg(m)=(r2)-2 и т.д., что подвтерждает факт существования для

каждого класса ri ему обращенного ri-1. Теорема доказана.

Теория сравнения имеет всевозможное применение. В частности, теория сравнения

Используется при выводе признаков делимости. Сформулируем общий признак

Делимости на mÎ Z , m> 1, который назван признаком Паскаля. В основе этого признака лежит систематическая запись натурального числа в системе с основанием g, т.е.

(anan-1…a1a0)g=an× gn+an-1gn-1+…a1g1+a0g° .

Теорема 3.(Паскаля) Число а=(аn,an-1…a1,a0)g делится на mÎ Z ,m> 1 тогда и только

Тогда, когда на m деления в число: anrm+an-1rn-1+…a1r1+a0r0, где ri остаток

От деления gi на m.

g° =mg0+r0, g1=mg2+r1,…gn=mgn=rnÞ

g0º r0(m0dm),g1º r1(m0d0),…,gnº rn(m0d0). Используя свойства сравнения легко получаем,

что angn+…+a0g0º anrn+…+a0r0 (m0d0). Воспользуемся определение сравнения, мы получаем истинность теоремы.

Общий признак позволяет вывести частный признак.

Выведем признак делимости на 3 и на 5, если число записано в десятичной

Системе исчисления.

m=3, g=10,тогда 10° =1º 1(mod3),

10º 1 (mod3), используем лемму, можно утверждать, что остатки ri =1, по

по признаку Паскаля

(anan-1…a0)10º an+…a0(mod3), откуда можно сфоормулировать признак

делимости на 3:

“Число делится на 3 тогда и только тогда, когла сумма его цифр в

десятичной делится на 3”.

 

 

 

Пусть b Î Р(a ), т.к. Р(a ) = Р[ a ] , то b = аSa s +···+a1a + a0, где f(х) = аSхs +···+a1х + a0Î Р[ х] , f(a ) = b . Пусть g(х) – линейный элемент для a , т.е. g(х) = bnхn + ···+ b1х + b0. Разделим f(х) на g(х) :

f(х) = g(х) g1(х) + r(х), 0£ deg r(х) < n, т.е. r(х) = с0 + с1х +···+ сn-1хn-1. (сiÎ р).

положим х = a в (1), получим f(a ) = g(a ) g1(a ) + r(a ), т.к. g(a ) = 0, то f(a ) = r(a ), т.е. b = с0 + с1a +···+ сn-1a n-1. Получили, что такое представление однозначное.

Пусть b = с0 + с1a +···+ сn-1a n-1 и b = d0 + d1a +···+ dn-1a n-1.

Рассмотрим многочлен φ(х) = (с0 - d0) + (с1 - d1)х + ∙∙∙ + (сn-1 - dn-1)х n-1, причем φ(a ) = 0, т.е. получился многочлен, степени меньше чем n, для которого a является корнем, что противеречит линейности многочлена для a . Если φ(х) существует, то он нулевой, поэтому сi = di, что и доказывает теорему.

Посмотрим как возможно изменить эту теорему для освобождения от алгебраической иррациональности в знаменатели дроби.

Пусть a – алгебраический элемент степени n > 1 не из Р

Пусть f(х), h(х) два многочлена из Р[ х] , h(a ) ¹ 0. Тогда в р(a ) может быть дробь . Возникает проблема представить дробь в виде линейной комбинации

степеней a . Это возможно, так как любой элемент из р(a ) есть линейная комбинация 1, a ,…,a n-1 Задача состоит в нахождении алгоритма преобразования.

Пусть g(х) – минимальный многочлен для a степени n. Т.к. h(a ) ¹ 0, то h(х)g(х) ® (h(х), g(х)) = 1 = > uh + vg = 1. Т.к. g(a ) = 0, u (a ) h (a ) = 1 u(a ) = . Следовательно, = f (a )u(a ) , где f(х), u(х) Î Р[ х] , а f (a ), u(a )Î Р[ a ] . Таким образом удалось освободиться от иррациональности в знаменателе дроби, а сделать это можно так:

рассмотрим h(х) и g(х) – минимальные a , если a с помощью алгоритма евклида подобрать u(х) такой, что h(х) g(х) + v(х) g(х) = 1; найти u(a );

= f (a )u(a )

Вопрос 10. Кольцо многочленов от одной переменной.

Вопрос предполагает решение проблемы построения кольца многочленов как алгебры и решение проблемы о корнях многочлена.

Для построения кольца многочленов как алгебры напомним определение алгебры.

Определение 1. Алгеброй называется упорядоченное множество двух множеств , где множество элементов любой природы, а V – множество операций.

Одной из алгебр является кольцо.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: бесплатные конспекты, реферат на тему види.

Предыдущая страница реферата | 17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27 | Следующая страница реферата