Предыдущая страница реферата | 17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27 | Следующая страница реферата

 

 

 

 

 

 

 

Следствие 3. Если a - трансцендентный элемент над полем Р, то Р[х]@ Р[a ].

n В силу трансцендентности a над Р, Kery ={0} и Р[x]/{0}@ Р[a ], кроме того e – изоморфизм, то есть Р[x]/{0}@ Р[x] следовательно, Р[x]@ Р[a ].

Определение 4. Пусть Р[х] – кольцо многочленов над полем Р. Пусть a – алгебраический элемент над полем Р. Минимальным многочленом * a над Р называется нормированный многочлен наименьшей степени, для которого a является корнем.

Обозначим минимальный многочлен для a над Р через g(x), deg g(x)=n называют степенью алгебраического элемента a над Р.

Легко показать:

g(x) существует для каждого алгебраического элемента; g(х) – неприводимый многочлен в Р[х] над Р; g(x) для a определяется однозначно. – вытекает из определения алгебраического элемента. – из определения минимальности g(x). – из предположения, что существует два многочлена * g и h и их неприводимости, они ассоциированы, а так как они неприводимы, то g(x)=h(x).

Теорема 5. Пусть a алгебраический элемент степени n над Р (a Ï Р) и g(x) – его минимальный многочлен степени n, тогда имеют место:

10. Если f(a )=0, где f(x)Î Р[х], то f(x)M g(x);

20. Р[х]/(g(f))@ Р[х];

30. Р[х]/(g(f)) – поле;

40. Р[a ]=Р(a ).

n Пусть a корень f(x), то есть f(a )=0, известно, что g(a )=0, тогда (f,g) либо 1, либо нет. Первое невозможно, так как по известной теореме f(x)M (x-a ) и

g(x)M (x-a ). Следовательно, (f,g)¹ 1, то есть они не являются взаимно простыми, поэтому f(x) делится на g(x).

Зададим гомоморфизм y : Р[х]® Р[a ], y (f(x))=f(a )Þ Ker y ={f(x),f(a )=0} состоит из многочленов, делящихся на g(x), поэтому Ker y =J=(g(x)) – идеал Р[х]Þ Р[х]/(g(x)) @ Р[a ] (*), так как Р[a ]Ì Р(a ), то Р[a ] – область целостностиÞ Р[х]/(g(x)) в силу (*) тоже область целостности. Покажем, что любой элемент из Р[х]/(g(x)) ненулевой обратимый.

Пусть смежный класс, , то f(a )=0, тогда f(x) не делится на g(x)Þ (f(x),g(x))=1Þ , но Þ Þ , что и требовалось доказать, то есть Р[х]/(g(x)) – поле, а так как эта алгебра изоморфна Р[a ], то Р[a ] тоже поле являющееся подполем поля Р(a ). Но Р(a ) минимальное подполе поля F, следовательно, Р(a ) Ì Р[a ], откуда получаем, что Р[a ]=Р(a ).

Эта теорема позволяет установить строение простого алгебраического расширения Р(a ).

Пусть a - алгебраический элемент над P, а Р(a ) – простое алгебраическое расширение P, пусть степень a равна n>0. Тогда

Теорема 6. Любой элемент поля Р(a ) однозначно представим в виде линейной комбинации n элементов 1,a ,...,a n-1 с коэффициентами из P.

 

Вопрос 15. Простые и составные числа.

Рассмотрим N – натуральные числа. Введем понятие простого и составного числа.

Опр.1 N ' а называется делящимся на число вÎ N , в > 0, если существует такое число с, что а = вс, при этом а – делимое, в – делитель, с – частное.

Все натуральные числа, в связи с отношениеми делимости на , разбиваются на группы: { 0} , { 1} , { р1, р2,…,…} , { а1, а2,…} , где 1 обладает только один делитель, рi – двумя, а для аi существует более двух.

Опр.2 Натуральное число р называется простым, если оно имеет ровно два различных делителей. (1 и само число р), составным, если имеет более двух делителей.

Введенное определение позволит выражать числа натуральные через простые. Это описывается теоремой, которую называют основной теоремой арифметики.

Теорема. 3 Любое n Î N , n > 1 можно единственным образом представить в виде произведения простых чисел с точностью до перестановки сомножителя.

В теореме содержится две теоремы: о существовании разложения и его единственности.

(7) Пусть n Î N , n > 1. Для доказательства исследуем метод математической индукции.

n = 2, 2 – простое число, следовательно n = 2 и есть его разложение.

Предположим, что для любого натурального числа, меньшего n, теорема верна и докажем для n.

Пусть дано натурально n, если оно простое, то это и есть его разложение. Если n составное, тогда n = вс, где в,с Î N и меньше n. По предположению индукции разложение их на простые множители существует, поэтому оно существует и для n. На основании принципа математической индукции, можно утверждать истенность теоремы для любого n Î N , n > 1.

(!) Докажем единственность разложения на простые множетели методом математической индукции.

n = 2, 2 = 2. Разложение единственное.

Допустим, что для любого числа натурального, меньшего n утверждение справедливо и докажем для n. Если n простое число, то это и есть его разложение и оно единственно. Если n составное, то оно допустит разложение на простые числа. Предположим, что таких разложений оказалось два: n = p1p2 ¼ pк = q1q2 … qs (1). Из равенства (1) видно, что “правая часть” делится на p1. А т.к. в “правой части числа простые”, то

существует число qi, которое делится на p1; (p1, qi) = 1. Следовательно, p1 = qi. Пусть qi = q1, разделим обе части равенства (1) на p1, получим, что и “левая часть” и “правая часть” числа натуральные, меньше n, а для них разложение единственное с точночтью до перестановки сомножителя. Поэтому при соответственно мы получаем, что n = p1p2 ¼ pк – разложение n и это разбиение единственное. Что и требовалось доказать.

Если среди простых множителей окажутся равные, то их объединяют в степень и получают представление n Î N в виде: , которое называют каноническим разложением натурального числа.

В теории натуральных чисел имеет место теорема, решающая вопрос о количестве простых чисел во множестве N .

Теорема 4. (Евклида) Множество простых чисел в N бесконечно.

Проведем доказательство методо от противного.

Пусть простых чисел конечное число: p1p2 ¼ pк. Рассмотрим N = p1p2 ¼ pк+1. Исследуем полученное число:

1) N > 1 = > оно простое или составное; N ¹ pi, i = 1, к ;

2) N pi, , i = 1, к = > , т.к. при делении на pi получен остаток 1;

N – составное. Если N составное, то ему надлежит делиться на 1, N и еще на какое-нибуть простое число (см. ниже), но это не так, поэтому N не является составным. Полученное противоречие и доказывает теорему.

Теорема 5. Наименьший, отличный от 1 делитель составного числа, является простым числом.

Пусть n Î N имеет делители, отличные от 1. Обозначим тот делитель, который будет наименьшим среди всех делителей. Пусть это натуральное число к, т.е. n = к . m; к, m Î N , к > 1. Исследуем к.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: бесплатные конспекты, реферат на тему види.





Предыдущая страница реферата | 17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27 | Следующая страница реферата