Предыдущая страница реферата | 17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27 | Следующая страница реферата



Неприводимыми многочленами над R могут быть многочлены не выше второй степени. Многочлен f(x)Î R[x], degf(x)³ 1 может быть представлен в виде:

, где если среди корней есть кратные, то можно представить и в виде (*):

, где Si – кратности корней, а tj – кратности сопряженных мнимых его корней. Представление (*) называется каноническим представлением f(x).

Теорема 4. Теоремы (1), (3) позволяют сделать с очевидностью вывод о том, что четность действительных корней совпадает с четностью его степени.

Вопрос 13. Кольцо многочленов над полем рациональных чисел (Q).

Теория многочленов утверждает, что множество многочленов f(x) = an xn + …+ a1 x + a0,

где ai ∈K – кольцо, x0=1, x∈K, 1∙x=x с операциями сложения и умножения образуют кольцо многочленов над кольцом K и обозначают K[x].

Особый интерес представляет теория многочленов, когда вместо кольца K рассматривается поле P. В силу того, что в поле P есть операция деления, становится возможным построить теорию корня многочленов и теорию приводимых и неприводимых многочленов. Рассмотрим, как решается эта проблема в Q[x].

Напомним, что корнем f(x) называется такое число x=a, что f(a)=0.

f(x) называется неприводимым, если его нельзя представить в виде двух многочленов меньшей положительной степени, в противном случае его называют приводимым.

Итак, пусть Q[x], f(x)∈ Q[x], где f(x) = an xn + …+ a1 x + a0 …(1), сформулируем и докажем теорему о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами. Если многочлен имеет рациональные коэффициенты, то он легко преобразуется к ему ассоциированному с целыми коэффициентами. Поэтому теорию существования и нахождения корней f(x)∈ Q[x] рассматривают именно для такого варианта, т.е. f(x)∈ Q[x], а ai ∈Z.

Теорема 1: Если ∈Q, где (p,q)=1, является корнем многочлена (1)… f(x) = an xn + …+ + a1 x + a0, ai ∈Z, то p является делителем свободного члена, а q-делителем старшего коэффициента an.

■ Если ∈Q корень f(x), то f =0. Подставим в (1) вместо x, получим

0= an + …+ a1 + a0, приведём к общему знаменателю, получим

0= an pn + an-1 pn-1 q+…+ a1 p qn-1 + a0 qn …(2).

Преобразуем (2):

2.1: 0 = an pn + q(an-1 pn-1 +…+ a1 p qn-2 + a0 qn-1) ⇒ an pn + q Q∶q, qQ∶q

⇒ an pn ∶q, (p,q)′→ an∶q, т.е. q-делитель старшего коэффициента;

2.2: 0 = p(an pn-1 +…+ a1 qn-1 ) + a0 qn) ⇒ pQ + a0 qn∶ p, pQ∶ p, ⇒ a0 qn∶ p, (q,p)=1 ⇒ a0 ∶ p, т.е. p-делитель свободного члена, что и доказывает теорему.

Следствие 2: Если f(x)∈ Q[x], а ai ∈Z, an=1, то он обладает только целыми корнями, которые находятся среди делителей свободного члена.

Истинность этого утверждения очевидна в силу того, что an=1, а делители 1 являются только ±1, следовательно, q=±1 и ∈Z. Т.к. = ± p∈Z находятся среди делителей, то утверждение верно.

Решим проблему неприводимости многочлена из Q[x], вернее о степени такого многочлена.

Решение этой проблемы предложено Эйзенштейном и носит название критерий Эйзенштейна о неприводимости многочлена в Q[x]. Заметим, что решение этой проблемы тоже есть смысл рассматривать для f(x)∈ Z[x], поскольку Q является полем частных области целостности Z.

Теорема 3: Пусть f(x)= cn xn + …+ c1 x + c0, ci ∈Z. Пусть все коэффициенты f(x), кроме старшего, делятся на p2. Тогда f(x) неприводим в Z[x].

■ Доказательство проведём методом от противного.

Пусть f(x)∈ Q[x] или f(x)∈ Z[x] приводим, т.е. существуют такие g(x), h(x)∈ Z[x], что

f(x) = (a0 +…+ak xk )(b0 +…+ bm xm) = g(x)·h(x), (ak ≠ 0, bm ≠ 0, k + m = n, причем 1≤ k, m<n).

Тогда c0 = a0·b0, cn = ak·bm. Так как c0∶p, c0 не∶p2, c0 = a0·b0 ⇒ a0 не∶p Λ b0 не∶p; пусть a0∶p,

b0 не∶p. Так как cn не∶p, то ak не∶p, bm не∶p, тогда у g(x) есть коэффициент делящийся на p и неделящийся на p. Пусть as коэффициент g(x) с наименьшим s таким, что as не∶p, т.е. a0, a1, …, as-1∶p, а as не∶p.

Найдем cs = as bs + (as-1 b1 + a0 bs) (s<n), т.к. as не∶p, b0 не∶p, то as b0 не∶p, число (as-1 b1 + a0bs) ∶p, по свойству делимости в кольце Z, cs не∶p, s<n, а это противоречит условию. Получено противоречие в силу предположения, что f(x) - приводим. Что и доказывает теорему о неприводимости f(x).

Следствие 4: Если p – простое число и n – любое целое положительное число, то многочлен xn-p неприводим в Q[x].

Теорема 3 и следствие 4 позволяют сделать вывод о том, что в Q[x] существуют неприводимые многочлены любой степени. Поэтому решение проблемы нахождения корней f(x) и разложения его на неприводимые многочлены затрудненно и требует в каждом конкретном случае особого подхода.

Вопрос 14. Простое алгебраическое расширение поля.

Пусть дано поле P. P[x]- кольцо многочленов от одной переменной над полем P. Обратимся к понятию алгебраической замкнутости поля P. Напомним, что поле Р называется алгебраически замкнутым, если любой многочлен f(x)Î P[x] обладает хлтя бы одним корнем. Введем такое понятие: элемент a Î Р называется алгебраическим над полем Р, если существует f(x)Î P[x], для которого a является корнем.

Пусть дано поле Р и a Ï Р, a Î F – поле.

Определение 1. Простым расширением поля Р с помощью элемента a называется наименьшее подмножество поля F, содержащее Р и a . Простое расширение поля Р с помощью a Î F обозначается Р(a ).

В вопросе решается проблема о строении Р(a ) и возможности применения этой теории для освобождения знаменателя дроби от алгебраической иррациональности. Для решения обозначенной проблемы рассмотрим Р[a ]={f(a )/f(x)Î P[x]}, где Р[a ]={a0+a1a +...+ana n/aiÎ P, nÎ N}.

Легко проверить, что Р[a ] подкольцо поля Р(a ).

Теорема 2. Пусть Р[x] – кольцо над Р, Р(a ) – простое расширение Р с помощью элемента a . Пусть y : Р[х] на Р[a ] – отображение такое, что y (f(x))=f(a ). Тогда:

10. " aÎ P, y (a)=a ;

20. y (x)=a ;

30. y – гомоморфизм и эпиморфизм;

40. Ker y ={f(x)Î Р[x]/ f(a )=0Î Р[a ]};

50. Фактор-кольцо Р[х]/Ker y изоморфно кольцу Р[a ].

n 10 и 20 следуют из определения y .

30: y (f(x)+g(x))= f(a )+g(a ), y (fg)=f(a )g(a ), y (1)=1, это проверяется непосредственно, поэтому y – гомоморфизм; " f(a )Î Р[a ], $ f(x)Î Р[x], y (f(x))=f(a ) Þ y – эпиморфизм.

40: следует из существования Ker f для гомоморфизма и из определения y .

Рассмотрим 50. Так как Ker y – идеал Р[х], то становится возможным Р[х] факторизовать, получить Р[х]/Ker y , тогда по основной теореме об эпиморфизме колец Р[х]/Ker y º Р[a ].

e : Р[x]® Р[x]/Kery , e (f(x))=Kf(x).

j : Р[x]/Kery ® Р[a ], где

j (Kf(x))=f(a )Þ j – изоморфизм.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: бесплатные конспекты, реферат на тему види.





Предыдущая страница реферата | 17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27 | Следующая страница реферата