Предыдущая страница реферата | 17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27 | Следующая страница реферата



Определение 2. Кольцом называется алгебра с двумя бинарными операциями – сложение и умножение -, удовлетворяющих следующим свойствам:

< K, +> - аддитивная абелева группа; “ ´ ”- ассоциативная операция; Сложение и умножение связаны дистрибутивным законом.

Для построения кольца многочленов зададим кольцо К и введем понятие многочлена.

Определение 3. Многочленом f(x) называется сумма anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0, где aiÎ K, x – неизвестное, xÏ K, x0=1, 1·x= x. ai называют коэффициентами многочлена, an- старшим, a0 – свободным членом.

Определение 4. Суммой двух многочленов и называется многочлен h(x)=f(x)+g(x), h(x)=ckxk+...+c0, где ci=ai+bi. Определение 5. Произведением двух многочленов и называется многочлен , где .

Обозначим множество всех многочленов с коэффициентами из кольца K через K[x] и рассмотрим алгебру <K[x], +, ´ >. Докажем теорему о том, что эта алгебра является кольцом.

Теорема 6. Алгебра многочленов <K[x], +, ´ >, с коэффициентами из кольца K образует кольцо.

g 1. f(x)+(g(x)+h(x))=(f(x)+g(x))+h(x)

f(x)+g(x)=g(x)+f(x)

f(x)(g(x)h(x))=(f(x)g(x))h(x)

f(x)(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+f(x)h(x)

Ассоциативность сложения и умножения, коммутативность сложения и дистрибутивные законы непосредственно вытекают из введенных нами операций над многочленами.

2. - называют нулевым многочленом, легко проверить, что , т.е. - выполняет роль нулевого элемента в алгебре K[x].

f(x)=(-an)xn+...+(-a1)x+(-a0)=-f(x) – называют противоположным многочленом для многочлена f(x), он выполняет роль противоположного элемента в алгебре. Так как все аксиомы кольца выполняются, то <K[x],+,´ > - кольцо, которое обозначают K[x] и называют кольцом многочленов над кольцом K.

Теорема 7. Если K область целостности, то K[x] тоже область целостности.

Для доказательства этой теоремы введем понятие степени многочлена.

Степенью многочлена f(x) называется максимальный показатель степени x с коэффициентом отличным от нуля. Обозначение: deg f(x)=n, где an¹ 0.

Степень многочлена обладает свойствами:

deg (f + g) £ max (deg f, deg g); deg (fg) = deg f + deg g, если K – область целостности. Доказательство свойств степени многочлена осуществляется на основе двух аргументов: во-первых, на основании выполнения операций; во-вторых, на основании целостности K.

Приступим к доказательству теоремы. Требуется проверить выполнимость: (1) коммутативности умножения и (2) отсутствие делителей нуля.

коммутативность умножения следует из определения умножения многочленов над областью целостности, где умножение элементов коммутативно.

f(x)¹ , deg f(x)=n³ 0, g(x)¹ , deg g(x)=m³ 0,

deg (f(x)g(x))=deg f(x)+deg g(x)= n+m ³ 0 Þ deg (fg) = n+m ³ 0 Þ $ cn+m ¹ 0 Þ (fg)¹ , это и доказывает отсутствие делителей нуля в K[x], где K – область целостности.

Пусть возникла ситуация, где требуется многочлен f(x) = anxn+...+a1x+a0 разделить на двучлен (x-a). Это можно сделать с помощью алгоритма, который принято в математике называть схемой Горнера. Построим этот алгоритм.

f(x) = (x-a)g(x)+r(x), где f(x) = anxn+...+a1x+a0, g(x)= bnxn+...+b1x+b0 .

Воспользуемся свойством степени, получим:

deg f(x) £ deg [(x-a)g(x)+r(x)]£ max[deg (x-a)g(x), deg r(x)]

deg (x-a)g(x)=deg (x-a)+deg g(x). Из этих равенств можно сделать вывод, что m=n-1, deg r(x)=0, т.е. r(x) – число, т.е. anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0=(x- -a)bnxn+...+b1x+b0+r. Раскроем скобки справа и приравняем коэффициенты многочленов. Для удобства одновременно воспользуемся схемой.

	an	an-1	...	A2	a1	a0
a	bn-1	bn-2=abn-1+an-1	...	b0=ab1+a1	b0=ab1+a1	r=ab0+a0

anxn=bn-1xn Þ bn-1=an

an-1xn-1=bn-1xn(-a)+bn-2xn-1 Þ an-1=bn-1(-a)+bn-2 Þ bn-2=an-1+abn-1

b1=ab2+a2, b0=ab1+a, r=ab0+a0.

Введем понятие корня многочлена.

Определение 8. Число x=a называется корнем многочлена f(x), если значение многочлена f(a) равно нулю.

Рассмотрим теорему Безу о делении многочлена на двучлен (x-a).

Теорема 9. (Безу) Остаток от деления многочлена f(x) на двучлен (x-a) равен f(a).

g f(x), (x-a). Поделим, f(x)=(x-a)g(x)+r, мы установили, что r – число. Подставим x=a в равенство, получим f(a)=0g(a)+r, откуда вытекает утверждение теоремы f(a) = r.

Из теоремы вытекает следствие: f(x)M (x-a) Û x=a корень уравнения.

Þ f(x) M (x-a) Þ f(x)=(x-a)g(x)+f(a) (по теореме Безу), f(a)=0 Þ x=a корень f(x)

Ü Пусть x=a корень многочлена, т.е. f(a)=0 Þ f(x)=(x-a)g(x) (по теореме Безу), т.е. f(x) M (x-a).

Вопрос 11. Кольцо многочленов над полем комплексных чисел.

В алгебре многочленов имеют место две взаимно пересекающиеся, взаимно дополняющие линии. Это вопросы существования и количества корней многочлена и разложение многочлена на неприводимые множители.

В вопросе представлено решение этих аспектов для кольца многочленов над полем комплексных чисел, т.е. для кольца C[x], где C – поле комплексных чисел.

Итак, пусть P – поле.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: бесплатные конспекты, реферат на тему види.





Предыдущая страница реферата | 17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27 | Следующая страница реферата