Предыдущая страница реферата | 16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26 | Следующая страница реферата



Решим вопрос о нахождении НОК (а,в).Обозначим НОК (а,в)=m

И докажем теорему

Теорема 6 m=ab/(a,d). Для доказетельства воспользуемся определением НОК.

Напишем, что ав/(а,в) делится на а и на в.

(а,в)=Þ a=a1d, тогда ab/(ab)=a1db1d/d(a1b1)=ab1=a1b, что и доказывает утверждение.

………..b=b1d

………..(a1,b1)=1

Покажем, что любое кратное чисел а и в делится на m.Пусть М общее кратное а и вÞ

М=ак, М=вmÞ M=abs=absd/d=ab/(a,b)sdÞ

M:ab/(a,b), что и требовалось доказать. Используя определение НОК (а,в) можно

Сделать вывод, что m=ab/(a1b)

Вопрос 9 Элементы теории сравнения с кольце Z

В вопросе решается проблемы возможности задания бинарного отношения

”cравнение по модулю m” в кольце целых чисел, его свойств, среди которых построение

новых алгебр из Z .

Пусть Z -кольцо целых чисел, m Î Z , m > 1

Опр.1 Числа а и в называются сравнимыми по модулю m, если а-в:m.

Записывается: а=в(modm).

Легко показать, что введенное бинарное отношение на Z является отношением эквивалентности, т.е.

обладает свойствами рефлексивности ,симметричности ,транзитивности.

Действительно:

1° a-a=0Î Z , 0:mÞ aº a (modm);

2° aº b (modm)Þ a-b:mÞ b-a:mÞ bº a (modm);

3° aº b (modm), bº c (modm)Þ a-b:m,Þ (a-b)+(b-c):mÞ a-c:mÞ

…………………………………aº c (modm)

Это очень важное свойство отношения сравнения,т.к. в таком случае оно задает разбиение

На Z , что рождает фактор – множество К/m=Z m, как множество классов эквивалентности.

Общая теория колец рассматривает эту ситуацию и утверждает, что<Z m,+,x> - кольцо.

Здесь же мы рассмотрим порождение другой алгебры – мультипликативной группы.

Для этого введем понятие взаимной простоты класса и модулем m.

Класс Ка=а называется взаимнопростым с m, если (а,m)=1, где а –образующей класса Ка

Однако в теории классов известно, что таким обьразующим может быть любой элемент из этого

класса).

Рассмотрим множество классов вычетов, каждый из которых взаимно прост с m.

Известно, что количество чисел, взаимно простых с модулем определяет функцию

Эйлера g(m) ,и что остатком от деления целых чисел на m составляют полную систему вычетов

Взаимно простые с m следует искать среди классов Ко,К1,К2,…,Кm-1. Пусть такими

классами будут í r1,r2,…rg(m) ý . Такую систему классов называют приведенной

Системой классов вычетов и их представителем приведенной системы вычестов

í r1,r2,…rg(m)ý .

В этой системе ровно g(m) элементов, ( ri,m)=1, (ri,m)=1

Теперь докажем теорему о приведенной системе классов вычетов.

Теорема 2. Приведенная система классов вычетов по модулю не образует

мультипликативную группу.

Для доказательства теоремы необходимо проверить существенные признаки мультипликативной группы,

т.е. проверить:

замкнутость относительного умножения, ассоциативность умножения, существование единичного элемента, существование для каждого элемента обратного.

Рассмотрим { r1,ri,…rg(m)} ,где (ri,m)=1, напомним ,что ri× rj=ri× rj.

(rim)=1Þ

(rj,m)=1

(ri,m)=1

……(rj,m)=1 Если предположить, что (ri× rj,m)¹ 1, то это будет означать, что

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: бесплатные конспекты, реферат на тему види.

Предыдущая страница реферата | 16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26 | Следующая страница реферата