Предыдущая страница реферата | 11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21 | Следующая страница реферата

Сформулировать определения мономорфизма, эпиморфизма, изоморфизма предоставляется читателю.

Рассмотрим гомоморфизм колец.

Опр.3

Гомоморфизмом кольца <K, +, > в <> называют отображение f:

Сохраняющее операции, т.е. f(а+в)=f(а)Å f(в) ; f(ав)=f(а)Ä f(в).

Опр.4

Ядром гомоморфизма f: называется множество элементов из К, образы

которых равны нулю кольца К, т.е. Ker f =

Теорема 5

Ker f кольца К в является идеалом К

а,в Î Ker f Þ f(a)=0¢ Î K¢ , f(в)=0¢ Î K¢ ; кÎ K

f(a-в)=f(а+(-в))=f(а)+f(-в)=f(а)-f(в)=0¢ - 0¢ =0¢ Î K Þ а-в Î Ker f

f(ак)=f(а) f(к)=0¢ f(к)=0¢ Πʢ Þ àêÎ Ker f

f(ка)=f(к) f(а)= f(к) 0¢ =0¢ Πʢ Þ êàÎ Ker f ,что и доказывает, что Ker f кольцо К в К ¢ является идеалом К

Имея К и идеал его I , можно задать отношение сравнения по идеалу. Известно, что это отношение является эквивалентностью поэтому задано разбиение, а следовательно, фоктор - кольца. Рассмотрим отображение Е : К® К /I, где Е(x)=Kx

Покажем что Е – гомоморфизм ( эпиморфизм ).

E(x+y)=Kx+y=Kx+Ky=E(x)+E(y); E(xy)=Kxy=KxKy=E(x)E(y).

" Kx Î K / I ;$ xÎ K, E(x)=Kx . Это позволяет утверждать что Е - эпиморфизм .

Теорема 6

Если f: K® K¢ эпиморфизм, то существует изоморфизм K / Ker f на K¢ такой,

что эпиморфизм f равен композиции Е и изоморфизма.

Для доказательства теоремы предварительно рассмотрим и зафиксируем условие теоремы.

К, К¢ - кольца , f: K® K¢ , f(x)=x¢ -эпиморфизм, тогда f обладает ядром Kerf, которое является идеалом K. Становиться возможным К фиксировать по Ker f = I, получаем фактор –кольцо К / Ker f. Рассмотрим Е: К® Ker f, где E(x)=Kx –эпиморфизм. Теперь можно приступать к доказательству теоремы, которое предполагает выполнение процедур по плану:

покажем что для x,yÎ Kx , f(x)=f(y), зададим отображение Y : K/Ker f ® K¢ так :Y (Kx)=f(x), проверим, что Y - гомоморфизм,

Y - эпиморфизм,

Y - мономорфизм.

f = Y ° E.

Итак, покажем, что для x,yÎ Kx, f(x)=f(y). Пусть f(x)¹ f(y) Þ f(x)-f(y)¹ 0¢ Þ f(x-y)¹ 0¢ ® x-y Ï Ker f Þ x y(mod Ker f)Þ xÏ Kx Ú yÏ Ky ,что противоречит

 

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: бесплатные конспекты, реферат на тему види.

Предыдущая страница реферата | 11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21 | Следующая страница реферата