Предыдущая страница реферата | 6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16 | Следующая страница реферата

Возвратные уравнения.

Уравнение вида anxn + an – 1 xn – 1 + … +a1x + a0 = 0 называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, то есть если

an – 1 = ak, при k = 0, 1, …, n.

Рассмотрим возвратное уравнение четвёртой степени вида

ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0,

где a, b и c — некоторые числа, причём a ( 0. Его удобно решать с помощью следующего алгоритма:

. разделить левую и правую части уравнения на x2. При этом не происходит потери решения, так как x = 0 не является корнем исходного уравнения при a ( 0;

. группировкой привести полученное уравнение к виду a(x2 + 1 / x2) + b(x + 1 / x) + c = 0;

. ввести новую переменную t = x + 1 / x, тогда выполнено t2 = x2 + 2 + 1 / x2, то есть x2 + 1 / x2 = t2
– 2;

в новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным:

at2 + bt + c – 2a = 0;

. решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной.

Для возвратных уравнений более высоких степеней верны следующие утверждения.

Возвратное уравнение чётной степени сводится к уравнению вдвое меньшей степени подстановкой x + 1 / x = t.

Возвратное уравнение нечётной степени обязательно имеет корень x= -1 и после деления многочлена, стоящего в левой части этого уравнения, на двучлен x + 1, приводится к возвратному уравнению чётной степени.

Пример 4.21. Рассмотрим, например, возвратное уравнение пятой степени ax5 + bx4 + cx3 + cx2 + bx + a = 0

Легко видеть, что x = – 1 является корнем этого уравнения, а потому по теореме Безу многочлен в левой части уравнения делится на x + 1. В результате такого деления получится возвратное уравнение четвёртой степени.

Довольно часто в процессе решения задач вступительных экзаменов возникают рациональные уравнения степени выше второй, которые не удаётся решить с помощью очевидной замены переменной. В этом случае попытайтесь отгадать какой-нибудь корень уравнения. Если попытка окажется успешной, то
Вы воспользуетесь следствием 1 теоремы Безу и понизите на единицу степень исходного уравнения. «Кандидатов» в корни многочлена с целочисленными коэффициентами следует искать среди делителей свободного члена этого многочлена. Если же попытка угадать корни не удалась, то, возможно, Вы избрали «не тот» метод решения, и существует иной метод, реализация которого не требует решения уравнения третьей или большей степени.

Формулы Виета для многочленов высших степеней.

Пусть многочлен P (x) = a0xn + a1xn – 1 + … + an

имеет n различных корней X1, X2, …, Xn. В этом случае он имеет разложение на множители вида

a0xn + a1xn – 1 + … + an = a0(x – x1)(x – x2)…(x – xn).

Разделим обе части этого равенства на a0 ( 0 и раскроем скобки.
Получим равенство

Xn + (a1 / a0)xn – 1 + … + (an / a0) =

= xn – (x1 + x2 + … +xn)xn – 1 + (x1x2 +x1x3 + … +xn-1xn)xn – 2 +

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: доклад по обж, курсовые работы.





Предыдущая страница реферата | 6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16 | Следующая страница реферата