СОДЕРЖАНИЕ:

|Уравнения с одним неизвестным | |
|Уравнения первой степени с двумя неизвестными | |
|Примеры уравнений второй степени с тремя неизвестными | |
|Общий случай уравнения второй степени с двумя неизвестными | |
|Р А З Р А Б О Т К А П Р О Г Р А М М |
|Программа №1 (уравнения с одним неизвестным) | |
| | |
| | |
| | |
| | |

ВВЕДЕНИЕ

Мой курсовой проект посвящен одному из наиболее интересных разделов теории чисел - решению уравнений в целых числах.

Решение в целых числах алгебраических уравнений с целыми коэффициентами более чем с одним неизвестным представляет собой одну из труднейших проблем теории чисел.

Проблема решения уравнений в целых числах решена до конца только для уравнений второй степени с двумя неизвестными. Отметим, что для уравнений любой степени с одним неизвестным она не представляет сколько-нибудь существенного интереса, так как эта задача может быть решена с помощью конечного числа проб. Для уравнений выше второй степени с двумя или более неизвестными весьма трудна не только задача нахождения всех решений в целых числах, но даже и более простая задача установления существования конечного или бесконечного множества таких решений.

В своем проекте я постаралась изложить некоторые основные результаты, полученные в теории; решения уравнений в целых числах. Теоремы, формулируемые в нем, снабжены доказательствами в тех случаях, когда эти доказательства достаточно просты.

1. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ

Рассмотрим уравнение первой степени с одним неизвестным
|[pic] |(1) |

Пусть коэффициенты уравнения [pic] и [pic] - целые числа. Ясно, что решение этого уравнения
|[pic] | |

будет целым числом только в том случае, когда [pic] нацело делится на
[pic]. Таким образом, уравнение (1) не всегда разрешимо в целых числах; так, например, из двух уравнений [pic] и [pic] первое имеет целое решение
[pic], а второе в целых числах неразрешимо.

С тем же обстоятельством мы встречаемся и в случае уравнений, степень которых выше первой: квадратное уравнение [pic] имеет целые решения [pic],
[pic]; уравнение [pic] в целых числах неразрешимо, так как его корни
[pic],иррациональны.

Вопрос о нахождении целых корней уравнения n-ой степени с целыми коэффициентами
|[pic] [pic] |(2)|

решается легко. Действительно, пусть [pic] - целый корень этого уравнения.
Тогда
|[pic], | |
|[pic]. | |

Из последнего равенства видно, что [pic] делится [pic] без остатка; следовательно, каждый целый корень уравнения (2) является делителем свободного члена уравнения. Для нахождения целых решений уравнения надо выбрать те из делителей [pic], которые при подстановке в уравнение обращают его в тождество. Так, например, из чисел 1, -1, 2 и -2, представляющих собой все делители свободного члена уравнения
|[pic], | |

только -1 является корнем. Следовательно это уравнение, имеет единственный целый корень [pic]. Тем же методом легко показать, что уравнение
|[pic] | |

в целых числах неразрешимо.

Значительно больший интерес представляет решение в целых числах уравнении с многими неизвестными.

2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

Рассмотрим уравнение первой степени с двумя неизвестными
|[pic], |(3)|

где [pic] и [pic] - целые числа, отличные от нуля, а [pic] - произвольное целое. Будем считать, что коэффициенты [pic] и [pic] не имеют общих делителей, кроме единицы. Действительно, если общий наибольший делитель этих коэффициентов [pic] отличен от единицы, то справедливы равенства
[pic], [pic]; уравнение (3) принимает вид
|[pic] | |

и может иметь целые решения только в том случае, когда [pic] делится на
[pic]. Таким образом, в случае [pic] - все коэффициенты уравнения (3) должны делиться нацело на [pic], и, сокращая (3) на [pic], придем к уравнению
|[pic] [pic], | |

коэффициенты которого [pic] и [pic] взаимно просты.

Рассмотрим сначала случай, когда [pic]. Уравнение (3) перепишется так:
|[pic]. |(3'|
| |) |

Решая это уравнение относительно[pic], получим
|[pic]. | |