Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата

[pic] и [pic] взаимно просты, или взаимно просты числа

[pic] и [pic].

В первом случае из равенства

[pic] следует, что

[pic], [pic], а во втором случае из равенства

[pic] следует

[pic], [pic], где [pic] и [pic] целые, [pic] - нечетное число и [pic], [pic]. Решая эти две системы уравнений относительно [pic] и [pic] и находя [pic], мы получаем или

[pic], [pic], [pic] или

[pic], [pic], [pic], где [pic] нечетно. Объединяя эти две формы представления решения [pic],
[pic], [pic] мы получаем общую формулу

[pic], [pic], [pic], где [pic] нечетно. Но для того чтобы [pic] и [pic] были целыми числами, необходимо, чтобы [pic] было четным. Полагая [pic] и [pic], мы получим окончательно общие формулы, дающие все решения уравнения (19) в целых положительных без общего делителя, большего 1, числах[pic], [pic], [pic]:

[pic], [pic], [pic],

(19') где [pic] и [pic] положительны, взаимно просты и [pic] нечетно. При этих условиях величины [pic] и [pic] выбираются произвольно, но так, чтобы [pic] было положительно. Формулы (19') действительно дают все решения в целых положительных и взаимно простых числах [pic], [pic], [pic], так как, с одной стороны, мы доказали, что [pic], [pic], [pic] в этом случае должны представляться по формулам (19'), а с другой стороны, если мы зададим числа
[pic] и [pic], удовлетворяющие нашим условиям, то [pic], [pic], [pic] будут действительно взаимно просты и будут решением уравнения (19).

4. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

В этом пункте мы докажем, что при любом целом положительном [pic] и иррациональном [pic] уравнение

[pic]

(20) всегда имеет нетривиальное решение, другими словами существует пара целых чисел [pic]и [pic]; [pic], которая ему удовлетворяет. Прежде всего, укажем прием, позволяющий разложить в цепную дробь произвольное положительное число. Пусть [pic] - любое положительное число. Тогда всегда существует целое число, которое будет меньше или равно [pic] и больше [pic]. Такое целое число носит название целой части [pic] и обозначается [pic]. Разность между [pic] и его целой частью называется дробной частью числа [pic] и обозначается [pic]. Из определений целой части и дробной части числа [pic] непосредственно следует соотношение между ними, именно:

[pic] или

[pic].

(21)

Так как дробная часть числа есть разность между положительным числом и наибольшим целым числом, его не превосходящим, то дробная часть числа всегда меньше единицы и неотрицательна. Например, целая часть [pic] есть 5, а дробная его часть есть [pic], целая часть [pic] есть 1, а дробная часть равна [pic]; целая часть [pic] равна 3, а дробная часть равна [pic], и т. д.

Введенное нами определение целой части и дробной части положительного числа [pic] может быть использовано для разложения этого числа в цепную дробь. Положим:

[pic], [pic].

Тогда

[pic].

Так как [pic] всегда меньше единицы, то [pic] всегда больше единицы.
Если бы [pic] было само целым числом, то его дробная часть равнялась бы нулю, [pic] было бы равно бесконечности и мы имели бы равенство [pic].
Отвлекаясь от этого частного случая, который исключается тем, что мы разлагаем в непрерывную дробь иррациональное число, мы можем утверждать, что [pic] - положительное число, большее единицы. С этим числом [pic] мы поступаем так же, как и с [pic], и пишем равенство

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: решебник по английскому класс, решебник 7.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата