Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата

[pic]; [pic]

(17)

В силу нечетности [pic] из (15) получаем, что [pic], [pic] и [pic] также нечетны. Более того, [pic], так как иначе из равенств

[pic] и [pic] следовало бы, что величины [pic] и [pic] имеют общий делитель [pic], что противоречит предположению об их взаимной простоте. Числа [pic]и [pic] связаны с взаимно простыми числами [pic] и [pic] равенствами

[pic], [pic] и в силу этого сами взаимно просты; [pic], так как [pic], что ясно из равенств (14).

Подставляя в равенства (15) - (17) [pic], получим формулы:

[pic], [pic],

[pic], (18) дающие при нечетных взаимно простых [pic] и [pic] [pic] все свободные от общих делителей тройки целых положительных чисел [pic], [pic], [pic], удовлетворяющие уравнению (12). Простой подстановкой [pic], [pic] и [pic] в уравнение (12) легко проверить, что при любых [pic]и [pic] числа (18) удовлетворяют этому уравнению.

Для начальных значений [pic] и [pic] формулы (18) приводят к следующим часто встречающимся равенствам:

[pic] [pic][pic]

Как уже было сказано, формулы (18) дают только те решения уравнения

[pic], в которых числа [pic], [pic] и [pic] не имеют общих делителей. Все остальные целые положительные решения-этого уравнения получаются умножением решений, содержащихся в формулах (18), на произвольный общий множитель
[pic].

Тем же путем, каким мы получили все решения уравнения (12), могут быть получены и все решения других уравнений того же типа.

П р и м е р II. Найдем все решения уравнения

[pic]

(19) в целых положительных попарно взаимно простых числах [pic], [pic], [pic].

Заметим, что если [pic], [pic], [pic] есть решение уравнения (19) и
[pic], [pic], [pic] не имеют общего делителя, отличного от 1, то они и попарно взаимно просты. Действительно, если [pic] и [pic] кратны простому числу [pic], то из равенства

[pic] следует, так как его левая часть - целое число, что [pic] кратно [pic]. То же самое будет, если [pic] и [pic] или [pic] и [pic] делятся на [pic].

Заметим, что [pic] должно быть числом нечетным для того, чтобы общий наибольший делитель [pic], [pic], [pic] был равен 1. Действительно, если
[pic] четно, то левая часть уравнения (19) будет четным числом и, значит, z также будет четным. Но [pic] и [pic] будут тогда кратны 4. Отсюда следует, что [pic] должно делиться на 4, другими словами, что [pic] тоже должно быть четным числом. Значит, если [pic] четно, то все числа [pic], [pic], [pic] должны быть четными. Итак, в решении без общего отличного от 1 делителя
[pic] должно быть нечетным. Отсюда уже следует, что и [pic] должно быть тоже нечетным. Перенося [pic] в правую часть, мы получаем:

[pic].

Но [pic] и [pic] имеют общим наибольшим делителем 2. Действительно, пусть их общий наибольший делитель будет [pic]. Тогда

[pic], [pic], где [pic] и [pic] - целые числа. Складывая и вычитая эти равенства, мы будем иметь:

[pic],[pic].

Но [pic] и [pic] нечетны и взаимно просты. Поэтому общий наибольший делитель [pic] и [pic] будет 2. Отсюда следует, что [pic].

Итак, или [pic], или [pic] нечетно. Поэтому или числа

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: решебник по английскому класс, решебник 7.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата