Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата

Ясно, что [pic] будет принимать целые значения в том и только в том случае, когда [pic] делится на [pic] без остатка. Но всякое целое [pic], кратное [pic], можно записать в виде
|[pic], | |

где [pic] принимает произвольные целые значения [pic]. Подставим это значение [pic] в предыдущее уравнение, тогда
|[pic], | |

и мы получаем формулы, содержащие все целые решения уравнения (3'):
|[pic], [pic] [pic]. | |

Перейдем теперь к случаю [pic].

Покажем, прежде всего, что для нахождения всех целых решений уравнения
(3) достаточно найти какое-нибудь одно его решение, т. е. найти такие целые числа[pic], [pic], для которых
|[pic], | |

Т е о р е м а I. Пусть а и b взаимно просты и [pic] - какое-нибудь решение уравнения
|[pic], |(3)|

Тогда формулы
|[pic], [pic] |(4)|

при [pic] дают все решения уравнения (3).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть [pic] - произвольное решение уравнения (3). Тогда из равенств
|[pic] и [pic] | |

получаем
|[pic]; [pic]. | |

Так как [pic] - целое число и числа [pic] и [pic] взаимно просты, то
[pic] должно нацело делиться на [pic], т. е. [pic] имеет вид
|[pic], | |

где [pic] - целое. Но тогда
|[pic], | |

и получаем
|[pic], [pic]. | |

Таким образом доказано, что всякое решение [pic] имеет вид (4). Остается еще проверить, что всякая пара чисел [pic], получаемая по формулам (4) при целом [pic], будет решением уравнения (3). Чтобы провести та кую проверку, подставим величины [pic], [pic] в левую часть уравнения (3):
|[pic], | |

но так как [pic] -решение, то [pic] и, следовательно, [pic], т.е. [pic] - решение уравнения (3), чем теорема полностью доказана.

Итак, если известно одно решение уравнения [pic], то все остальные решения найдутся из арифметических прогрессий, общие члены которых имеют вид:

[pic], [pic] [pic].

3аметим, что в случае, когда [pic], найденные раньше формулы решений
|[pic], [pic] | |

могут быть получены из только что выведенных формул [pic], [pic], если выбрать [pic], что можно сделать, так как значения [pic], [pic] являются, очевидно, решением уравнения
|[pic], | |

Как же найти какое-нибудь одно решение [pic] уравнения (3) в общем случае, когда [pic]. Начнем с примера.

Пусть дано уравнение [pic]

Преобразуем отношение коэффициентов при неизвестных.

Прежде всего, выделим целую часть неправильной дроби [pic];
[pic]

Правильную дробь [pic] заменим равной ей дробью [pic].

Тогда получим [pic]. Проделаем такие же преобразования с полученной в знаменателе неправильной дробью [pic].

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: решебник по английскому класс, решебник 7.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата