Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата

[pic], [pic], [pic]

Продолжая этот процесс, мы получаем ряд равенств:

[pic]

(24)

Этот процесс последовательного образования целых чисел [pic],
[pic],[pic],[pic],[pic],[pic] в случае, когда [pic], - рациональное число,
- другими словами, когда [pic], где [pic] и [pic] - целые положительные числа, - как нетрудно заметить, ничем не отличается по своим результатам от получения неполных частных с помощью алгоритма Евклида (см. формулу (6)).
Он должен поэтому оборваться при [pic] рациональном. При [pic] иррациональном этот процесс должен быть бесконечным. Действительно, если бы при каком-нибудь [pic] было целым числом, то- отсюда следовало бы, что
[pic]было бы рациональным, что в свою очередь влекло бы за собой рациональность [pic] и т. д. и, наконец, рациональность [pic]. Из формул
(23), делая последовательные замены, исключая [pic],[pic],[pic],[pic] мы получим цепную дробь

(24)

которую, так как [pic] можно взять сколь угодно большим, можно записывать и в форме бесконечной цепной дроби

Т е о р е м а III. При любом целом положительном [pic] и иррациональном
[pic] уравнение (20)

[pic] имеет нетривиальное решение[pic], [pic], [pic].

Рассмотрим уравнение общего вида,

[pic]

(25) где [pic] - целое, [pic] - целое число, [pic] - иррациональное число. При
[pic] это уравнение всегда имеет бесчисленное множество решений в целых числах [pic] и [pic]. При произвольных [pic] и [pic] такое уравнение может вообще не иметь решений.

П р и м е р. Покажем, что уравнение

[pic]

(26) вообще не разрешимо в целых числах [pic] и [pic]. Заметим, прежде всего, что квадрат нечетного числа при Делений на 8 всегда дает в остатке 1.
Действительно, так как всякое нечетное число а может быть записано в форме
[pic], где [pic] - целое число, то

[pic], (27) где [pic] - целое число в силу того, что или [pic], или [pic] должно быть четным числом. Далее, если [pic] - решение уравнения (27),. то [pic] и
[pic] не могут быть числами одинаковой четности. Если бы [pic] и [pic] были одновременно четными или нечетными, то [pic] было бы четным числом и не могло быть равно 1. Если же [pic] нечетно, а [pic] четно, то при делении на
[pic] давало бы в остатке 1, [pic] делилось бы на 4 и [pic] при делении на
4 давало бы в остатке 1. Это невозможно, так как при делении на 4 правая часть тривиально дает в остатке [pic] или [pic]. Наконец, если [pic] четно, а [pic] нечетно, то [pic] делится на 4, [pic] на основании (26) может быть записано в форме

[pic] и, значит, при делении на 4 дает в остатке 1. Поэтому [pic] при делении на
4 должно опять давать в остатке 1, что, как мы уже видели, невозможно.
Поэтому не существует целых чисел [pic] и [pic], которые могли бы удовлетворять уравнению (26).

Не останавливаясь на вопросе, при каких условиях, наложенных на [pic]и
[pic], уравнение (25) будет иметь решение, - вопросе трудном и разрешимом с помощью общей теории квадратических иррациональностей в алгебраической теории чисел, - мы остановимся на случае, когда уравнение (25) имеет нетривиальные решения. По-прежнему нетривиальным решением мы будем называть решение [pic], если [pic]. Итак, пусть уравнение (25) имеет нетривиальное решение [pic]; другими словами, пусть

[pic]

(28)

Рассмотрим при том же [pic] уравнение

[pic] (29)

Это уравнение имеет бесчисленное множество решений в целых числах при
[pic] и иррациональном [pic], и любое такое его решение [pic] будет:

[pic], [pic],

Так как [pic] решение уравнения (29)

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: решебник по английскому класс, решебник 7.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата