Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата

Теперь исходная дробь примет вид: [pic]

Повторяя те же рассуждения для дроби [pic] получим [pic].

Выделяя целую часть неправильной дроби[pic], придем к окончательному результату:

[pic]

Мы получили выражение, которое называется конечной цепной или непрерывной дробью. Отбросив последнее звено этой цепной дроби - одну пятую, превратим получающуюся при этом новую цепную дробь в простую и вычтем ее из исходной дроби [pic]:

[pic], [pic].

Приведем полученное выражение к общему знаменателю и отбросим его, тогда

[pic].

Из сопоставления полученного равенства с уравнением [pic] следует, что
[pic], [pic] будет решением этого уравнения и согласно теореме все его решения будут содержаться в прогрессиях [pic], [pic] [pic].

Полученный результат наводит на мысль о том, что и в общем случае для нахождения решения уравнения [pic] надо разложить отношение коэффициентов при неизвестных в цепкую дробь, отбросить ее последнее звено и проделать выкладки, подобные тем, которые были проведены выше.

Для доказательства этого предположения будут нужны некоторые свойства цепных дробей.

Рассмотрим несократимую дробь [pic]. Обозначим через [pic] частное и через [pic] остаток от деления а на b. Тогда получим: [pic], [pic].

Пусть, далее, [pic] - частное и [pic] - остаток от деления [pic] на
[pic] Тогда [pic], [pic]; точно так же

[pic][pic] [pic]

Величины [pic], [pic],… называются неполными частными. Приведенный выше процесс образования неполных частных называется алгоритмом Евклида. Остатки от деления [pic], [pic],…удовлетворяют неравенствам
|[pic], |(5)|

т. е. образуют ряд убывающих неотрицательных чисел.

Так как количество неотрицательных целых чисел, не превосходящих b, не может быть бесконечным, то на некотором шаге процесс образования неполных частных оборвется из-за обращения в ноль очередного остатка r. Пусть [pic]
- последний отличный от нуля остаток в ряде (5); тогда [pic] и алгоритм
Евклида для чисел a и b примет вид

[pic]

(6)

Перепишем полученные равенства в виде

[pic]

Заменяя значение [pic] в первой строке этих равенств соответствующим значением из второй строки значение [pic] - выражением из третьей, строки и т. д., получим разложение [pic] в цепную дробь:

[pic]

Выражения, получающиеся из цепной дроби при отбрасывании всех ее звеньев, начиная с некоторого звена, назовем подходящими дробями. Первая: подходящая дробь [pic] получится при отбрасывании всех звеньев, начиная с
[pic]: [pic].

Вторая подходящая дробь [pic]получается отбрасыванием всех звеньев, начиная с [pic]: [pic]. Точно так же

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: решебник по английскому класс, решебник 7.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата